關(guān)于子流形若干問題的綜述.pdf

1、本文是一篇關(guān)于黎曼子流形的一些命題的綜述，主要包括子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ砗臀⒎智蛎娑ɡ恚恿餍蔚钠磾D定理，子流形平均曲率流解的延拓性和收斂性，以及Clifford超曲面的幾何特征。
　　 第二章概述了關(guān)于黎曼子流形的一些基本概念以及基本公式。
　　 第三章介紹球面定理。球面定理是曲率與拓?fù)溲芯款I(lǐng)域最重要的研究方向之一。二十世紀(jì)五十年代以來，許多著名的幾何學(xué)家在這一領(lǐng)域做出了卓越的貢獻。運用球面中緊致子流形上穩(wěn)定流的不存在性

2、和由S.Smale證明的廣義Poincare猜想，H.Lawson和J.Simons得到了子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?997年，K.Shiohama和H.W.Xu證明了下述關(guān)于非負(fù)常曲率空間形式中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?008年，付海平和許洪偉用同調(diào)群消沒定理證明了雙曲空間中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?009年，許洪偉和J.R.Gu在數(shù)量曲率拼擠條件下證明了關(guān)于常曲率空間形式中子流形的最佳微分球面定理。同年，許洪偉和E.T.Zhao運用

3、Ricci流理論證明了關(guān)于子流形的微分球面定理。
　　 第四章講述拼擠定理。1990年，許洪偉證明了對球面中具有平行平均曲率的閉子流形的剛性定理。2007年，Y.J.Suh和H.Y.Yang改進了H.C。Yang和Q.M.Cheng關(guān)于閉極小超曲面數(shù)量曲率的第二空隙定理。2010年，Xu-Tian將Suh和Yang的結(jié)果推廣到一類具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的閉超曲面的情形。2007年，S.Pigola，M.Rigoli和A.G.

4、Setti在逐點的Ricci曲率拼擠條件下得到空間形式的一個特征。2009年，Xu-Zhao將拼擠常數(shù)改進，并推廣到數(shù)量曲率為非零常數(shù)的情形。
　　 第五章簡述平均曲率流的解的延拓性和收斂性結(jié)果。K.Brakke首先從幾何測度論的角度研究了平均曲率流。之后，G.Huisken對超曲面的平均曲率流進行了一系列研究。他證明了：若歐氏空間中超曲面的第二基本形式關(guān)于時間一致有界，則平均曲率流在時間上可以向后延拓N.Sesum利用爆破的方

5、法證明：如果黎曼流形的Ricci曲率關(guān)于時間一致有界，那么Ricci流的解關(guān)于時間可以延拓。最近，B.Wang證明了在曲率積分條件下Ricci流的解關(guān)于時間的可延拓性定理。2011年，Liu-Xu-Ye-Zhao研究了平均曲率流的解在曲率積分條件下關(guān)于時間的可延拓性問題證明了如果第二基本形式模長的平方以平均曲率平方的某個線性函數(shù)為上界，且平均曲率在時空中的積分有限，那么一般黎曼流形中高余維平均曲率流的解關(guān)于時間可以延拓。上世紀(jì)八十年代，

6、在Huisken獲得了關(guān)于歐氏空間中逐點拼擠條件下超曲面平均曲率流收斂性的著名定理。2010年，B。Andrews和C.Baker證明了逐點拼齊條件下歐氏空間中高余維的平均曲率流的收斂定理，這一結(jié)果部分推廣了Huisken關(guān)于超曲面的平均曲率流的研究結(jié)果。2011年，Liu-Xu-Ye-Zhao拓廣為曲率積分拼齊條件下高余維平均曲率流的收斂性定理，最近，C.Baker證明了球面空間形式中高余維子流形的平均曲率流的收斂性定理，Liu-Xu

7、-Ye-Zhao研究了雙曲空間形式中高余維平均曲率流的收斂性問題。
　　 第六章是介紹Clifford曲面的幾何特征。當(dāng)H=0時，J.Simons[32]，H.Lawson[24]，S.S.Chern，M.do Carmo和S.Kobayashi[15]證明的一個著名的剛性定理說，如果S≤n，那么S≡0或者S≡n，即M是一個大球面或者Clifford極小超曲面Sk(√k/n)×Sn-k(√n-k/n)，k=1，…，n-1.據(jù)此陳