一類推廣的Bernstein多項式及其應用問題研究.pdf

1、遼寧師范大學碩士學位論文一類推廣的Bernstein多項式及其應用問題研究姓名：孫曉坤申請學位級別：碩士專業(yè)：基礎數(shù)學指導教師：王晶昕20040501一類推廣的B e r n s t e i n 多項式及其應用問題研究若，( z ) 在【o ，1 1 上有定義，則令B n ( ，；z ) = ∑，( i ) B 。，。( z ) = ∑，( 。v ，C ：z ”( 1 一z ) 一。( 11 )被稱為關于f ( x ) 的n 次B e

2、m s t e i n 多項式其中，B ¨，。( z ) = c ：z 。( 1 ～。) ?，“ = 0 ，1 ．···，n ( 1 ．2 )為B e r n s t e i n 基函數(shù)．當f ( x ) 在[ o ，1 ] 上連續(xù)時，{ ￡k ( ，：z ) ) 一致收斂于，( z ) ．函數(shù)f ( x ) 的B e r n s t e i n 多項式簡便、精練，容易構造，因此，B e r n

3、s t e i n 多項式的各種性質、推廣、應用等問韙一直受到數(shù)學工作者的關注，產(chǎn)生了大量的研究成果．1 9 5 3 年，L o r e n t z 在其著作“B e r n s t e i n P o l y n o m i a l s ”中，對日。( ，；z ) 的各種性質以及這個多項式在復數(shù)域上的推廣等問題做了全面的闡述和總結．但在B e r n s t e j n 多項式出現(xiàn)后6 0 年的對間里，人們一直沒有找到關于它合適的、切

4、實可行的、有效的應用．上個世紀6 0 年代，法國雷諾( R e n a u l t ) 汽車公司的_ I 二程師B 6 z i e r 在探討汽車外形及零部件的計算機輔助設計時，提出一種曲線設計的數(shù)學方法，即所謂的B 6 z i e r 曲線，后來，經(jīng)過F o r r e s t 等人的工作，發(fā)現(xiàn)B 6 z i e r曲線實際上正是B e r n s t e i n 多項式的向量值形式．B 6 z i e r 曲線的表示最為常用的表達(

5、 [ 4 ] ) 為p 0 ) = 芝二％B j ．。( ￡) ，0 ≤t s l ( 13 )J = 0其中b ，，j = 0 ，1 ．- 一m 稱為控制頂點或B 6 z i e r 點．B j ，。( t ) = 暖∥( 1 一t ) 一’是B e r n s t e i n 基函數(shù)．隨著C A G D 和C A M 技術的發(fā)展，人們不斷探討研究B e r n s t e i n 多項式和B 6 z i e r 線的各種應用，使它們

6、成為了自由曲線／曲面設計的重要的數(shù)學工具．在給出經(jīng)典B e r n s t e i n 多項式及其逼近性質的總結性結論之后，主要研究B e r n s t e i n 多項式的一種推廣及其應用首先，用1 0 ，1 ] 上的某一類連續(xù)函數(shù)h ( x ) 取代經(jīng)典B e r n s t e i n 摹函數(shù)和B e r n s t e i n 多項式中的。，由此得到的基函數(shù)保有大部分性質，并得到結論新的B e r n s t e i n 多項