一類分段多項式正交函數(shù)系的構造與應用.pdf

1、信號與圖像處理的應用中,正交變換的本質(zhì)是把待處理的信號(或圖像)用一組正交基表示,然后在“頻率”域中對變換系數(shù)進行分析與處理,由于正交變換去相關能力強,變換系數(shù)的信息冗余少,因此,正交變換被廣泛地應用于信號與圖像處理的各個領域。如何選擇一組合適的正交基是正交變換研究的基本問題,U系統(tǒng)(也稱二進制U系統(tǒng),BU系統(tǒng))和V系統(tǒng)(也稱二制V系統(tǒng),BV系統(tǒng))是L2([0,1])上的一類完備的分段多項式正交系,用BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)表示一類分段連續(xù)的

2、信號時,不會出現(xiàn)Fourier三角基的Gibbs現(xiàn)象,且收斂速度優(yōu)于Walsh函數(shù)系,鑒于U系統(tǒng)與V系統(tǒng)的這種優(yōu)良的數(shù)據(jù)逼近性能,本文系統(tǒng)地研究了分段多項式正交函數(shù)系的構造、性質(zhì)、計算及其應用。
　　 首先,我們研究了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)之間的關系,證明了BU系統(tǒng)的基可以表示為Walsh矩陣(或倒Walsh矩陣)與BV系統(tǒng)的基的乘積,緊接著,證明了二進制U系統(tǒng)的構造算法可以構造一類分段多項式多小波(BVLets),而BV系統(tǒng)的本質(zhì)

3、是L2([0,1]上的分段多項式多小波,從而得到了用多小波級聯(lián)算法計算BU正交變換與BV正交變換的計算方案,反過來,通過直接計算BV變換可以得到BVLets的多小波分解,這時并不需要對輸入數(shù)據(jù)預處理。另外,我們也給出了BVLets多小波分解的預處理方案,且推導出了計算BU變換的計算公式和基值的計算公式,為計算機實現(xiàn)BU變換提供了明確的表達式。
　　 其次,本文繼續(xù)拓展了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng),構造出一類新的四進制分段多項式正交函數(shù)系

4、(簡稱為QU系統(tǒng)),并給出一組QU系統(tǒng)的函數(shù)生成元的顯式表達式。然后研究了它的正交性、收斂性,證明QU系統(tǒng)是L2([0,1])上的一類完備的正交函數(shù)系,并推導出QU系統(tǒng)的基值的計算公式與QU變換的計算公式。另外一方面,QU系統(tǒng)的構造算法可以構造出一類L2(R)上的四進制分段多項式多小波(簡稱QVLets),若限制在[0,1]區(qū)間上,則可以得到一類L2([0,1])上的完備的分段多項式正交函數(shù)系(簡稱為QV系統(tǒng)),并建立了QU系統(tǒng)與QV系

5、統(tǒng)之間顯式關系,從而可以通過QvLets的級聯(lián)算法計算QU變換。緊接著,我們繼續(xù)討論了n(n是偶數(shù))進制U系統(tǒng)的構造,由于n進制U系統(tǒng)的構造算法所構造的函數(shù)生成元是n進制分段多項式多小波,反過來,我們用n進制多小波的雙尺度方程導出函數(shù)生成元的求解方程。因此,n進制系統(tǒng)的構造算法可以構造一類n進制的V系統(tǒng)與刀進制的分段多項式多小波,但不一定能構造出n進制正交U系統(tǒng),進一步地,我們得到了構造療進制正交U系統(tǒng)的充分必要條件。
　　 第

6、三,本文嘗試把分段多項式正交系應用于圖像處理與圖像分析中,研究BU變換的JPEG編碼算法,并取得了與DCT相當?shù)膱D像編碼結果,通過實驗證實3次BU變換的去相關性能、編碼增益與DCT相同。然后,研究BU變換的可逆分解,結合SPIHT圖像編碼算法對圖像進行無損壓縮,其壓縮效果與JPEG-LS基本一致。另外,為了避免編碼過程中的量化處理,提出了基于全相位Bu變換的圖像編碼方法,在高壓縮比的情況下,重構圖像的效果明顯地優(yōu)于JPEG。
　　

7、 最后,研究用分段多項式正交基表示幾何圖形與圖像的輪廓線,并得到了一類新的分段多項式描述子,它是一類基于尺度、平移、旋轉變換的不變量。然后,結合BP神經(jīng)網(wǎng)絡,用QV描述子對圖像進行分類與識別,并對MPEG7_CE-1中的圖像進行仿真實驗,結果表明在相同的實驗條件下,3次QV描述子的識別率要優(yōu)于Fourier描述子。另一方面,本文用分段多項式正交基作為過程神經(jīng)元構造一類分段多項式正交基神經(jīng)網(wǎng)絡模型,在函數(shù)逼近方面,BV神經(jīng)網(wǎng)絡的收斂速度

8、明顯地優(yōu)于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡、小波神經(jīng)網(wǎng)絡、Legendre正交基網(wǎng)絡,特別是逼近一類間斷函數(shù)時,其優(yōu)勢更加明顯,而QV神經(jīng)網(wǎng)絡的逼近效率優(yōu)于BV神經(jīng)網(wǎng)絡,它可以克服BV神經(jīng)網(wǎng)絡逼近連續(xù)函數(shù)時的“奇異”現(xiàn)象。
　　 綜上所述,本文重點研究了二進制分段多項式正交函數(shù)系的計算問題,研究了BU系統(tǒng)與BV系統(tǒng)之間的關系,簡化了它們的計算。同時,構造了一類新的QU系統(tǒng)與QV系統(tǒng),用QV系統(tǒng)或QU系統(tǒng)逼近幾何圖形時,不會出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象,