一類橢圓方程非平凡解的存在性.pdf

1、本文主要考慮如下橢圓方程(P)(公式略)
　　 其中Ω是RN中一個有界光滑區(qū)域,N≥1，p＞1，λ是一個實(shí)數(shù)，f，g:Ω×R→R
　　 關(guān)于t是局部Lipschitz函數(shù)并對于所有x∈Ω，t∈R和某一常量C＞0滿足|f(x,t)|≤C(1+|t|q-1)和|g(x，t)|≤C(1+|t|q-1)，
　　 其中p≤q＜p*并且當(dāng)N＞p時p*=Np/N-p，當(dāng)N≤p時p*可以取任意實(shí)數(shù).此外，△p是p-Laplace

2、算子，即△pu=div(|▽u｜p-2▽u)且我們假定f(x，0)=g(x，0)=0.本文的主要結(jié)果如下：定理1假設(shè)(1)式成立且假定(f1)f(x，t)t≥0，以及f(x，t)在無窮遠(yuǎn)處是超線性的，即(公式略)
　　 對x∈Ω一致成立，(f2)存在θ≥1使得對所有x∈Ω，t∈R和所有s∈[0，1]都有θ(￡)(x，t)≥(￡)(x，st)，其中(￡)(x，t)=f(x，t)t-pF(x，t),F(x，t)=∫t0f(x，s)d

3、s，(f3)存在ρ＞0和(-λ)∈(λ1,λ2)使得對所有x∈Ω和|t|≤ρ都有λ1|t|p≤pF(x，t)≤(-λ)|t|p，
　　 其中λ1和λ2分別是算子-△p在W01,p(Ω)中從屬于Dirichlet零邊值條件的第一個和第二個特征值，
　　 (f4)對于所有x∈Ω以及t∈R且t≠0都有g(shù)(x，t)t≥pG(x，t)＞0，并且存在一個正的常量M使得對于所有x∈Ω和所有t∈R都有g(shù)(x，t)t-pG(x，t)＜M，

4、其中G(x，t)=∫t0g(x，s)ds.則存在一個正的常量γ使得對于所有0≤λ＜γ問題(P)在W01,p(Ω)中存在一個非平凡弱解.
　　 定理2假設(shè)(1)，(f1)，(f2)和(f4)成立且極限(公式略)對x∈Ω一致成立，其中τ(φ)σ(-△p)，σ(-△p)是-△p的譜.則存在一個正的常量γ使得對于所有0≤λ＜γ問題(P)在W01,p(Ω)中存在一個非平凡弱解.
　　 定理3假設(shè)(f4)成立以及(f5)(公式略)對

5、x∈Ω一致成立，其中ρ∈R，(f6)(公式略)對x∈Ω一致成立，(f7)pF(x，t)-∫(x，t)t≥δ＞0對所有x∈Ω及t∈R并且t≠0都成立.則存在一個正的常量γ使得對于所有0≤λ＜γ問題(P)在W01,p(Ω)中存在一個非平凡弱解.此外，若在問題(P)中g(shù)(x，u)成為g(x)這樣的形式且λ=1時，問題(P)就成為(公式略)此時，我們?nèi)艏俣╢：Ω×R→R是Carathéodory函數(shù)且滿足對于所有x∈Ω，t∈R及常量a0，b0＞

6、0都有|f(x，t)|≤a0|t|q-1+b0，
　　 其中0≤q＜p*，p*=Np/N-p若N＞p且p*取任意實(shí)數(shù)若N≤p.對問題(P')我們有下面的定理：定理4假設(shè)(3)式成立以及f(x，t)=o(|t|p-1)當(dāng)t→0
　　 對幾乎所有x∈Ω一致成立，且存在常量μ＞p和r＞0使得對于所有x∈(-Ω)及所有|t|≥r都有0＜μF(x，t)≤tf(x,t)
　　 成立.則存在一個正的常量λ0使得對于所有‖g‖L