一類擬線性橢圓方程解的存在性問(wèn)題.pdf

1、在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和控制論等諸多科學(xué)領(lǐng)域中出現(xiàn)了各種各樣的非線性問(wèn)題，且在解決這些非線性問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸形成了現(xiàn)代分析中一個(gè)非常重要的分支一非線性泛函分析.它主要包括變分法，不動(dòng)點(diǎn)方法和拓?fù)涠确椒ǖ葍?nèi)容，為解決當(dāng)今科技領(lǐng)域中層出不窮的非線性問(wèn)題提供了富有成效的理論工具，尤其在處理應(yīng)用科學(xué)提出的各種非線性問(wèn)題中發(fā)揮著不可替代的作用.目前實(shí)際問(wèn)題中不斷涌現(xiàn)出大量的非線性微分方程問(wèn)題，需要人們深入研究，在這一過(guò)程的非線性分析中，變

2、分法已經(jīng)一次又一次地被證明是解決微分方程初值問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具之一.微分方程中的變分法是把微分方程邊值問(wèn)題化為變分問(wèn)題，以便運(yùn)用分析的方法考慮方程解的存在性、解的個(gè)數(shù)及求其近似解的方法。即將研究方程的解轉(zhuǎn)化為該微分方程所對(duì)應(yīng)的能量泛函(Euler-Lagrange泛函)的臨界點(diǎn)，其中微分方程的弱解就是其臨界點(diǎn)，于是尋找泛函的臨界點(diǎn)成為解決問(wèn)題關(guān)鍵所在.迄今為止經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)工作者長(zhǎng)期努力的研究，這種分析方法逐漸形成了一個(gè)解決非線性問(wèn)題的數(shù)

3、學(xué)方法一變分法. 本文正是運(yùn)用這種變分法考慮一類擬線性橢圓方程非平凡正解、變號(hào)解的存在性問(wèn)題.我們的方法和技巧主要是受文[1，2，9，11]的啟發(fā). 本文主要考慮擬線性橢圓方程： 本文共分為四章. 第一章，一些預(yù)備知識(shí)，通過(guò)介紹臨界點(diǎn)理論的一些基本知識(shí)，基本引理以及一些記號(hào)說(shuō)明，以便后面各章節(jié)的應(yīng)用. 第二章，這一章主要是運(yùn)用Nehari方法討論方程(111)，并得到一個(gè)非平凡正解的存在性結(jié)果.這

4、個(gè)方程的困難主要有兩點(diǎn)： (1)涉及到二階空間導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng).在變分法中，導(dǎo)致這種困難的就是下面的4階齊次且非凸的非線性泛函 (2)缺乏緊性問(wèn)題，因?yàn)槲覀兂３Ｔ谡麄€(gè)無(wú)界區(qū)域，如RN上考慮問(wèn)題的.不過(guò)，我們給出了條件(V1)、(V2)以及一些引理，克服了上述兩點(diǎn)困難，得到如下結(jié)論： 定理2.1.1假設(shè)V(z)滿足條件(V1)、(V2)，k是-個(gè)大于0的常數(shù)，4≤p<∞.則問(wèn)題(1.1)至少存在-個(gè)正解. 第