一類奇異橢圓方程解的存在性.pdf

1、本文首先考慮奇異半線性橢圓問題｛-△u=u-γ+g(x，u)， x∈Ω，u＞0， x∈Ω， (1)u=0， x∈()ΩQ，其中，Ωc RN(N≥3)是具有光滑邊界()Ω的有界區(qū)域，γ＞0是一個(gè)正常數(shù)，g：Ω×R→R是一個(gè)Carathéodory函數(shù)，即：對(duì)任意的s∈R，g(x，s)關(guān)于x是可測的；對(duì)幾乎所有的x∈Ω，g(x，s)關(guān)于s是連續(xù)的．我們的具體做法是利用變分方法和極小作用原理。 主要結(jié)果如下： 定理1假設(shè)函數(shù)g

2、(x，s)滿足如下條件：(g1)存在兩個(gè)函數(shù)a∈L2n/n+2(Ω)和b∈Ln/2(Ω)滿足│g(x，s)│≤a(x)+b(x)│s│，對(duì)一切的s∈R和幾乎所有的x∈Ω成立，(g2)存在一個(gè)正常數(shù)m，使得lims→+∞ g(x，s)/s=m，對(duì)幾乎所有的x∈Ω成立． 如果m＜λ1，那么問題(1)在C(Ω)∩(∩1≤p＜∞ W2,ploc(Ω))中有—個(gè)解存在，其中入λ1表示具有齊次Dirichlet條件的-△的第一個(gè)特征值。

3、 定理2假設(shè)函數(shù)g(x，s)滿足定理1中的條件(g1)和如下假設(shè)(g3)存在一個(gè)正測度集EcQ和一個(gè)函數(shù)h∈L1(Q)滿足(i)當(dāng)│s│→+∞，G(x，s)-1/2λ1s2→-∞，對(duì)幾乎所有的x∈E成立，(ii)G(x，s)-1/2λ1s2≤h(x)，對(duì)一切的s∈R和幾乎所有的x∈Ω都成立，其中G(x，s)=fs0g(x,t)dt，則定理1的結(jié)論也成立。 接下來本文討論如下奇異橢圓方程｛-△u+k(x)u-γ=λup， x∈

4、Ω，u＞0， x∈Ω， (2)u=0， x∈()Ω，這里，Q c RN(N≥1)是一個(gè)有界區(qū)域并且具有C2+α邊界()Ω，γ、λ和p是三個(gè)非負(fù)常數(shù)，k是定義在Ω上的非負(fù)函數(shù)，其中0＜α＜1。本文利用上下解原理得到問題(2)正解的存在性。 定理3設(shè)函數(shù)k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且k(x)≥0且k≠0。如果0＜γ＜1、0＜p＜1，那么一定存在一個(gè)常數(shù)λ∈(0，∞)，使得當(dāng)λ＞λ時(shí)，問題(2)至少有一個(gè)解uλ∈C2+α(Ω)∩C

5、(Ω)且u-γλ∈L1(Ω)，此時(shí)問題(2)有一個(gè)極大解uλ且uλ關(guān)于λ是遞增的；當(dāng)λ<(λ)時(shí)，問題(2)在C2(Ω)∩C(Ω)中沒有解。 定理4設(shè)函數(shù)k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且Ω中k(x)＞0。如果γ≥1，那么對(duì)于一切的λ＞0和p＞0，問題(2)在C2(Ω)∩C(Ω)中沒有解存在。 最后，本文利用上下解原理考慮了比問題(2)更一般的橢圓問題｛-△u+k(x)f(u)=λup， x∈Ω，u＞0， x∈Ω， (3

6、)u=0， x∈()Ω，其中，Ω c RN(N≥1)是有界區(qū)域并且具有C2+α邊界()Ω，λ和p是兩個(gè)非負(fù)常數(shù)，k是定義在Ω上的非負(fù)函數(shù)，f是定義在(0，+∞)上的非負(fù)的、非增的函數(shù)。 主要結(jié)果如下： 定理5設(shè)函數(shù)k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且k(x)≥0且k≠0，0＜p＜1。假設(shè)函數(shù)f∈Cαloc(0，∞)且滿足(f1)∫10f(s)ds＜+∞，(f2)∫10(∫t0f(s)ds)-1/2dt＜+∞，則存在一個(gè)常數(shù)

7、λ∈(0，∞)，使得當(dāng)λ＞(λ)時(shí)，問題(3)至少有一個(gè)解uλ∈C2+α(Ω)∩C(Ω)且f(uλ)∈L1(Ω)，此時(shí)問題(3)有一個(gè)極大解vλ且vλ關(guān)于λ是遞增的；當(dāng)λ＜(λ)時(shí)，問題(3)在C2(Ω)∩C(Ω)中沒有解。 定理6設(shè)函數(shù)k∈Cαloc(Ω)∩C(Ω)并且在Ω中k(x)≥0.假設(shè)函數(shù)f∈Cαloc(0，∞)且滿足(f3)∫10f(s)ds=+∞，則對(duì)一切的λ＞0和p＞0，問題(3)在C2(Ω)∩C(Ω)中沒有解存