楊-巴克斯特方程在拓撲物理中的應(yīng)用.pdf

1、自從楊振寧和R.J.Baxter分別于1967年與1972年創(chuàng)建了量子楊-巴克斯特方程(簡稱QYBE)以來，量子可積模型方面的研究取得了很大進展，特別是V.G.Drinfeld所建立的Yangian和量子群理論對物理中的量子完全可積模型的對稱性研究提供了強有力的數(shù)學(xué)工具。經(jīng)過幾十年的發(fā)展研究，目前，量子楊-巴克斯特方程、Temperley-Lieb代數(shù)及拓撲基已經(jīng)被應(yīng)用到量子信息和量子計算領(lǐng)域。本論文主要將拓撲基和各類物理模型，例如XX

2、X鏈模型聯(lián)系起來，探究了拓撲基在這些系統(tǒng)中的特殊物理性質(zhì);提出了Temperley-Lieb代數(shù)生成元的高維構(gòu)造方法;同時研究了拓撲參數(shù)d和量子糾纏的關(guān)系;量子楊-巴克斯特系統(tǒng)中量子糾纏以及Berry幾何相的物理性質(zhì)，通過這些研究，有助于將量子楊-巴克斯特方程這個處理非線性量子系統(tǒng)可積問題的宏大理論更有效的應(yīng)用到相關(guān)物理學(xué)的各個領(lǐng)域，具有積極的意義。本論文共包括六章，其中工作主要是第二章至第六章。
　　第一章簡單介紹了本文的研究背

3、景，研究的重要性，回顧了量子糾纏，Berry幾何相，量子楊-巴克斯特方程和拓撲基的發(fā)展歷程以及研究現(xiàn)狀，并且給出了兩體糾纏度量的公式及其基本性質(zhì)，Berry幾何相的簡略推導(dǎo)。
　　第二章成功的將拓撲基和物理模型，例如XXX模型建立了聯(lián)系。也就是通過Temperley-Lieb代數(shù)的生成元構(gòu)造出相應(yīng)的哈密頓量，進而使拓撲基成為哈密頓量的本征態(tài)，探究拓撲基在不同物理鏈模型中具有的特殊物理性質(zhì)。結(jié)果表明當(dāng)拓撲參數(shù)d=2時，拓撲基在對應(yīng)的

4、XXX鏈模型中具有的的特殊物理性質(zhì)為:這個系統(tǒng)的自旋單態(tài)和能量單態(tài)都落在了拓撲基上。當(dāng)拓撲參數(shù)d=√2時，得到了一套正交完備的并且糾纏都是最大值的拓撲基實現(xiàn)，這套基可以實現(xiàn)量子傳輸。拓撲基在其相應(yīng)的自旋鏈模型中具有的特殊物理性質(zhì)為:不管該系統(tǒng)是順磁的還是反磁的，能量基態(tài)都是二重簡并的，并且基態(tài)都落在了拓撲基上。
　　第三章系統(tǒng)的提出了n2×n2的、滿足Temperley-Lieb代數(shù)的、對應(yīng)單d=√n的矩陣U的構(gòu)造方法。用這個方法

5、，給出了9×9的、滿足Temperley-Lieb代數(shù)的、對應(yīng)單圈d=√3的矩陣U的具體表示，它是很有意義的:它可以被看作應(yīng)用到量子計算，特別是拓撲模型方面非常重要的例子，在量子信息方面有一定的價值。同時還研究了相應(yīng)的楊-巴克斯特系統(tǒng)的量子糾纏。
　　第四章研究了拓撲中最重要的拓撲參數(shù)d和糾纏的關(guān)系。結(jié)果表明當(dāng)d=n時，由兩個n維的量子系統(tǒng)構(gòu)成的投影態(tài)都是最大糾纏態(tài)，并且相應(yīng)的Temperley-Lieb代數(shù)的生成元U矩陣都是最大

6、矩陣。當(dāng)d≠n時，通過研究n=2和n=3的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)d→+∞時，投影態(tài)和相應(yīng)的U矩陣的糾纏都是趨于0的。然后研究了一個楊-巴克斯特系統(tǒng)的熱糾纏和糾纏突然死亡。熱糾纏的結(jié)果表明:拓撲參數(shù)d不僅能影響臨界溫度Tc，還能影響這個系統(tǒng)取得的最大糾纏值。而且還發(fā)現(xiàn)拓撲參數(shù)d對糾纏突然死亡也有很大的影響。
　　第五章研究了9×9的楊-巴克斯特系統(tǒng)中的量子糾纏和Berry幾何相。首先構(gòu)造了一個滿足Heck代數(shù)關(guān)系的9×9的M矩陣。通過楊-巴克

7、斯特化方法，得到了一個9×9的、楊-巴克斯特方程的幺正解(R)（θ，(Ψ)1，(Ψ)2），此解在量子信息和量子糾纏中是非常有意義的:借助幺正的局域變換，通過R(θ，(Ψ)1，(Ψ)2)，任何純的兩個三維子系統(tǒng)形成的糾纏態(tài)都能生成。然后通過(R)矩陣構(gòu)造了相應(yīng)的哈密頓量，并研究了該楊-巴克斯特系統(tǒng)的Berry幾何相。結(jié)果表明當(dāng)參數(shù)(Ψ)1=(Ψ)2時，這個哈密頓量算符能夠借助三套SU(2)算符表示出來，并且能夠得到三個震蕩哈密頓量。在這個