隨機方程及其在金融中的應用.pdf

1、隨機偏微分方程是最近二十多年來一個熱門的研究課題，并且已經(jīng)被廣泛的應用于動力系統(tǒng)，流體力學，材料科學，金融等領域。同時，隨機偏微分方程的理論研究也取得了很大的進展?？傮w說來，隨機偏微分方程的研究方法分為兩類。一類是直接將其對應的解作為時間與空間的函數(shù)，用相應偏微分算子對應的格林函數(shù)來定義mild解，并研究解的性質(zhì)，如存在唯一性，距估計，密度存在性，大偏差等。該方法首先由Walsh于1985年給予系統(tǒng)介紹，并很快被應用到各種形式的隨機偏微

2、分方程。另一種方法是將隨機偏微分方程看作一個無窮維的隨機微分方程來處理，用相應的微分方程的驅動算子生成的半群來定義mild解，并研究其性質(zhì)。本文將把這兩種方法分別應用于三種形式的隨機偏微分方程來證明解的存在唯一性以及其他性質(zhì)。
　　 本文考慮了三種隨機偏微分方程：
　　 第一種是由分式噪聲驅動的高階（四階）熱方程。通過對分式噪聲積分的定義，給出Walsh意義下的mild解，即基于高階熱方程對應的格林函數(shù)的解，然后，利用P

3、icard迭代的方法來證明該方程的解的存在唯一性。進一步，由Kolmogorov連續(xù)性準則以及對解的一些估計，我們得到該解的Holder連續(xù)階數(shù)。最后，我們首次提出了用分式噪聲的Malliavin分析來證明該噪聲驅動的隨機偏微分方程解的概率密度的存在性的方法，并得到了該高階熱方程的解的密度的存在性。
　　 第二種方程是由分式噪聲驅動的隨機廣義Burgers方程。該方程將一般的Burgers方程中關于空間變量的一階微分算子的系數(shù)由

4、二次函數(shù)推廣到三次函數(shù)。由于系數(shù)的非Lipchitz性，我們用一種局部化的方法求得局部解。進而，通過局部解的p階距的一致估計，得到了一個唯一的全局解。而該方法同樣可推廣到一階微分算子的系數(shù)是三次以上冪函數(shù)的廣義Brugers方程．同樣，由分式噪聲的Malliavin分析，我們證明了解的概率密度的存在性，并得到該密度的矩估計。
　　 第三類方程是由無窮維布朗運動驅動的帶記憶的隨機偏微分方程。該帶隨機干擾項的方程由我們首次提出，其描

5、述了材料科學中，在隨機外力的干擾下，粒子的位置變化情況。由于方程中的記憶項，一般的用格林函數(shù)定義的mild解不再適用，取而代之的是用預解算子定義的mild解。我們首先通過局部化的方法得到一個唯一的局部mild解。接著引進一個能量函數(shù)來對方程的解加以控制，并通過對能量函數(shù)的負指數(shù)衰減性來得到一個唯一全局解。
　　 另一方面，自從Black和Scholes[14]把幾何布朗運動引入金融領域以后，擴散過程對金融工具的發(fā)展起了越來越重要

6、的作用，其中，比較有名的模型有CIR模型、Vasicek模型及其擴展在隨機利率方面的應用，而利率在現(xiàn)代金融中的作用至關重要，對利率的模擬、預測直接會影響到像債券、利率衍生品等的價格收益。在Vasicek模型的基礎上，我們首次提出了帶反射的跳擴散過程來模擬利率過程，從而避免了Vasicek模型下“負利率”的出現(xiàn)。同時，帶跳的擴散過程更能反映利率的政策性瞬間調(diào)整。在此模型下，我們求解了可違約的一類歐式期權和信用違約互換的定價，并用一類偏積分