二階三點(diǎn)奇異微分方程邊值問(wèn)題.pdf

1、非線(xiàn)性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性尤其是正解的存在性問(wèn)題是應(yīng)用和理論中令人感興趣的關(guān)鍵問(wèn)題，在整個(gè)常微分方程研究領(lǐng)域顯得尤為重要。特別是二階常微分方程邊值問(wèn)題一直是微分方程研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題，它在物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)及社會(huì)學(xué)等研究領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用背景和重要的理論指導(dǎo)意義。近幾十年來(lái)，隨著非線(xiàn)性泛函分析這支學(xué)科理論的出現(xiàn)，利用其中的上下解方法，迭合度方法，錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理等方法解決非線(xiàn)性常微分方程邊值問(wèn)題收到了很好的效果，

2、取得了巨大的進(jìn)展和成功，國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者也陸續(xù)得到了很多重要的成果，關(guān)于非線(xiàn)性常微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究也有了一些討論．多點(diǎn)邊值問(wèn)題起源于各種不同的應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域，這方面的背景實(shí)例包括橫截面相同而密度分段不同的支索的振動(dòng)以及彈性穩(wěn)定性理論中的許多問(wèn)題．二階線(xiàn)性微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題最早是由Il'in與Moiseev[7][8]提出的，而二階非線(xiàn)性微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題是由Gupta[5]提出來(lái)，自此多點(diǎn)邊值問(wèn)題引起廣泛的關(guān)注，許多學(xué)者

3、對(duì)它進(jìn)行了研究[1，3-4，17-18]．例如，當(dāng)(1)中的f(t，x(t))=g(t)f(x(t))且g(t)為[0，1]上的變號(hào)函數(shù)且f為無(wú)奇異點(diǎn)的非減函數(shù)時(shí)，利用緊集上的不動(dòng)點(diǎn)定理，Bing Liu[9]得到邊值問(wèn)題(1)至少存在兩個(gè)正解；當(dāng)f(t，x，y)為非負(fù)并且對(duì)x在+∞處為超線(xiàn)性的，B．Yan[20]利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了邊值問(wèn)題(2)至少存在兩個(gè)正解；當(dāng)f為非負(fù)函數(shù)并且沒(méi)有奇異點(diǎn)時(shí)，Y．Guo和W．Ge[4]利用錐上的不動(dòng)

4、點(diǎn)定理得出邊值問(wèn)題(2)至少存在一個(gè)正解．
　　全文共分兩章．在第一章中，當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)f變號(hào)且在t=0，x=0奇異時(shí)通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela定理逼近得出邊值問(wèn)題(1)的正解的存在性，最后利用凹函數(shù)的性質(zhì)得出邊值問(wèn)題(1)正解的唯一性。
　　在第二章中，我們主要討論了邊值問(wèn)題(2)的正解的存在性與不存在性：在第二節(jié)中利用凹函數(shù)的性質(zhì)得出使得邊

5、值問(wèn)題(2)的正解不存在的條件；在第三節(jié)中當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)f變號(hào)且在t=0，x=0奇異但不在x'=0奇異時(shí)通過(guò)構(gòu)造全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela，定理逼近得出邊值問(wèn)題(2)的正解的存在性；在第四節(jié)中當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)f變號(hào)且在t=0，x=0，x'=0奇異時(shí)，通過(guò)構(gòu)造全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理和凹函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela定理逼近