二階三點奇異微分方程邊值問題.pdf

1、非線性常微分方程邊值問題解的存在性尤其是正解的存在性問題是應用和理論中令人感興趣的關鍵問題，在整個常微分方程研究領域顯得尤為重要。特別是二階常微分方程邊值問題一直是微分方程研究領域中的一個重要研究課題，它在物理學、天文學、生物學及社會學等研究領域內(nèi)有著廣泛的應用背景和重要的理論指導意義。近幾十年來，隨著非線性泛函分析這支學科理論的出現(xiàn)，利用其中的上下解方法，迭合度方法，錐上的不動點定理等方法解決非線性常微分方程邊值問題收到了很好的效果，

2、取得了巨大的進展和成功，國內(nèi)外的眾多學者也陸續(xù)得到了很多重要的成果，關于非線性常微分方程多點邊值問題的研究也有了一些討論．多點邊值問題起源于各種不同的應用數(shù)學和物理領域，這方面的背景實例包括橫截面相同而密度分段不同的支索的振動以及彈性穩(wěn)定性理論中的許多問題．二階線性微分方程多點邊值問題最早是由Il'in與Moiseev[7][8]提出的，而二階非線性微分方程多點邊值問題是由Gupta[5]提出來，自此多點邊值問題引起廣泛的關注，許多學者

3、對它進行了研究[1，3-4，17-18]．例如，當(1)中的f(t，x(t))=g(t)f(x(t))且g(t)為[0，1]上的變號函數(shù)且f為無奇異點的非減函數(shù)時，利用緊集上的不動點定理，Bing Liu[9]得到邊值問題(1)至少存在兩個正解；當f(t，x，y)為非負并且對x在+∞處為超線性的，B．Yan[20]利用不動點定理得到了邊值問題(2)至少存在兩個正解；當f為非負函數(shù)并且沒有奇異點時，Y．Guo和W．Ge[4]利用錐上的不動

4、點定理得出邊值問題(2)至少存在一個正解．
　　全文共分兩章．在第一章中，當非線性項f變號且在t=0，x=0奇異時通過構(gòu)造一個新的全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動點定理得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela定理逼近得出邊值問題(1)的正解的存在性，最后利用凹函數(shù)的性質(zhì)得出邊值問題(1)正解的唯一性。
　　在第二章中，我們主要討論了邊值問題(2)的正解的存在性與不存在性：在第二節(jié)中利用凹函數(shù)的性質(zhì)得出使得邊

5、值問題(2)的正解不存在的條件；在第三節(jié)中當非線性項f變號且在t=0，x=0奇異但不在x'=0奇異時通過構(gòu)造全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動點定理得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela，定理逼近得出邊值問題(2)的正解的存在性；在第四節(jié)中當非線性項f變號且在t=0，x=0，x'=0奇異時，通過構(gòu)造全連續(xù)算子，利用Banach空間的不動點定理和凹函數(shù)的相關性質(zhì)得出算子序列的解，然后利用Ascoli-Arzela定理逼近