二階奇異微分方程兩點(diǎn)邊值問題.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等諸領(lǐng)域中出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題．氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、邊界層理論等中的很多非線性問題，都可以用奇異常微分方程來描述．鑒于奇異常微分方程廣泛的應(yīng)用背景和深刻的數(shù)學(xué)意義，對(duì)它的理論研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注．在非線性微分方程的奇異邊值問題方面的研究，也取得了豐富的成果．近年來，經(jīng)典的Monge—Ampere方程作為一種特殊的非線性常微分方程，在應(yīng)用數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的的重要作用日益突顯，

2、引起了許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)這類方程正解的存在性的研究[1][3]，[5]—[7]。 考慮如下邊值問題文獻(xiàn)[1]中胡守川等研究得到了邊值問題(I)中函數(shù)f在v=0處非奇異且f在[0，+∞)上連續(xù)單增時(shí)，邊值問題(I)至多存在一個(gè)正解及兩個(gè)正解的充分條件．文獻(xiàn)[6]中Lions等研究了如下邊值問題其中B={x∈Rn：|c|＜1}是Rn上的單位球，且D2u=(()2u/()xi()xj)是關(guān)于u的黑塞矩陣．對(duì)完全非線性運(yùn)算det(D2u)

3、來說，函數(shù)f(u)=un可以看做線性的．事實(shí)上，在文獻(xiàn)[6]中Lions等證明了，當(dāng)f(u)=un時(shí)，邊值問題存在唯一特征值λ1，更確切地說，λ1＞0且相應(yīng)的特征函數(shù)ψ1是一個(gè)負(fù)的凹函數(shù)，而任意其他特征函數(shù)都是ψ1與一個(gè)正常數(shù)乘積的形式．另外，注意到二階橢圓算子或更一般地由Krein—Rutman定理給出了算子的第一個(gè)特征值的性質(zhì)，對(duì)于一般函數(shù)f，λ1可看作邊值問題(II)的歧點(diǎn)，文中所謂次線性和超線性函數(shù)f(u)的定義都與un有關(guān)．文

4、獻(xiàn)[7]中，在f(u)= up，()p，0＜p≠n的條件下，Kutev等將邊值問題(II)簡(jiǎn)化為得到了邊值問題(II)唯一非零凸徑向?qū)ΨQ解的存在性，關(guān)于凸徑向?qū)ΨQ解的討論，見文獻(xiàn)[3]，[7]。 本文運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論和逼近技巧，得到了當(dāng)邊值問題(I)中函數(shù)f可能在v=0處奇異或函數(shù)f可能變號(hào)時(shí)，邊值問題(I)正解的存在性，結(jié)果做的比文獻(xiàn)[1]，[6]，[7]要廣．全文共分兩章： 在第一章中，我們首先用函數(shù)g(v)+h

5、(v)代替f(v)，借助文獻(xiàn)[11]，[42—44]的思想，研究得到了如下邊值問題的唯一正解的存在性，其中h(v)可能在v=0處奇異，g(v)在(0，+∞)上關(guān)于v非減，h(v)在(0，+∞)上關(guān)于v非增．文末給出了例子，說明定理的應(yīng)用．接下來，主要采用兩種方法研究了邊值問題(I)當(dāng)函數(shù)f可能在v=0處奇異時(shí)，邊值問題(I)正解的存在性．一種方法是利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理，Leray—Schauder型原理及解的逼近技巧，另外一種是上下解方法