二階奇異微分方程兩點邊值問題.pdf

1、隨著科學技術的發(fā)展，在物理學、化學、生物學、經濟學、工程學等諸領域中出現了各種各樣的非線性問題．氣體動力學、流體力學、邊界層理論等中的很多非線性問題，都可以用奇異常微分方程來描述．鑒于奇異常微分方程廣泛的應用背景和深刻的數學意義，對它的理論研究引起了許多學者的關注．在非線性微分方程的奇異邊值問題方面的研究，也取得了豐富的成果．近年來，經典的Monge—Ampere方程作為一種特殊的非線性常微分方程，在應用數學各領域的的重要作用日益突顯，

2、引起了許多數學工作者對這類方程正解的存在性的研究[1][3]，[5]—[7]。 考慮如下邊值問題文獻[1]中胡守川等研究得到了邊值問題(I)中函數f在v=0處非奇異且f在[0，+∞)上連續(xù)單增時，邊值問題(I)至多存在一個正解及兩個正解的充分條件．文獻[6]中Lions等研究了如下邊值問題其中B={x∈Rn：|c|＜1}是Rn上的單位球，且D2u=(()2u/()xi()xj)是關于u的黑塞矩陣．對完全非線性運算det(D2u)

3、來說，函數f(u)=un可以看做線性的．事實上，在文獻[6]中Lions等證明了，當f(u)=un時，邊值問題存在唯一特征值λ1，更確切地說，λ1＞0且相應的特征函數ψ1是一個負的凹函數，而任意其他特征函數都是ψ1與一個正常數乘積的形式．另外，注意到二階橢圓算子或更一般地由Krein—Rutman定理給出了算子的第一個特征值的性質，對于一般函數f，λ1可看作邊值問題(II)的歧點，文中所謂次線性和超線性函數f(u)的定義都與un有關．文

4、獻[7]中，在f(u)= up，()p，0＜p≠n的條件下，Kutev等將邊值問題(II)簡化為得到了邊值問題(II)唯一非零凸徑向對稱解的存在性，關于凸徑向對稱解的討論，見文獻[3]，[7]。 本文運用錐上的不動點理論和逼近技巧，得到了當邊值問題(I)中函數f可能在v=0處奇異或函數f可能變號時，邊值問題(I)正解的存在性，結果做的比文獻[1]，[6]，[7]要廣．全文共分兩章： 在第一章中，我們首先用函數g(v)+h

5、(v)代替f(v)，借助文獻[11]，[42—44]的思想，研究得到了如下邊值問題的唯一正解的存在性，其中h(v)可能在v=0處奇異，g(v)在(0，+∞)上關于v非減，h(v)在(0，+∞)上關于v非增．文末給出了例子，說明定理的應用．接下來，主要采用兩種方法研究了邊值問題(I)當函數f可能在v=0處奇異時，邊值問題(I)正解的存在性．一種方法是利用錐上不動點定理，Leray—Schauder型原理及解的逼近技巧，另外一種是上下解方法