低扭曲幾何映射的研究.pdf

1、隨著三維數(shù)據(jù)采集技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字幾何數(shù)據(jù)成為繼聲音、圖像和視頻之后的新媒體形式，并在曲面造型、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫與視覺(jué)、地理信息系統(tǒng)、物理仿真、虛擬現(xiàn)實(shí)、科學(xué)計(jì)算的可視化等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文的研究是基于三角網(wǎng)格曲面這一基本的幾何數(shù)據(jù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域，尋找曲面間的低扭曲幾何映射一直是一個(gè)重要的基本性問(wèn)題。其中，曲面參數(shù)化和曲面注冊(cè)就是其中的兩個(gè)重要技術(shù)。隨著數(shù)字幾何處理的發(fā)展及曲面微分幾何在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的廣泛

2、應(yīng)用，越來(lái)越多基于低扭曲幾何映射的工程技術(shù)難題被解決。本文以三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，圍繞低扭曲幾何映射問(wèn)題，對(duì)低扭曲的球面參數(shù)化及平面網(wǎng)格上低扭曲映射進(jìn)行研究。
　　對(duì)于虧格為0的封閉三角網(wǎng)格曲面，我們提出了一種盡可能保剛性的球面參數(shù)化方法（ARAP方法）。該方法是平面域上盡可能保剛性參數(shù)化在球面域的推廣。我們的目標(biāo)是尋找一個(gè)具有最優(yōu)半徑的球面網(wǎng)格，使得每個(gè)三角形都能盡量保剛性地映射到該球面上。通過(guò)分析二維及三維空間連續(xù)和離散的ARA

3、P能量，給出基于ARAP能量的球面參數(shù)化的優(yōu)化模型。該模型的求解涉及到一個(gè)帶有非線性約束的二次規(guī)劃優(yōu)化問(wèn)題。針對(duì)該問(wèn)題，我們提出了有效的兩步迭代算法，包括局部/全局算法更新球面頂點(diǎn)坐標(biāo)和迭代更新半徑。該方法克服了以往方法僅僅優(yōu)化角度扭曲或者面積扭曲的缺點(diǎn)，直接優(yōu)化剛性（長(zhǎng)度）扭曲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法比較，該方法具有最好的保持三角形剛性的能力。
　　對(duì)于虧格為0的封閉三角網(wǎng)格曲面，我們提出了一種低度量扭曲的有效球面參數(shù)化方法（

4、BLD方法），包括保角度和保長(zhǎng)度兩類。以往的方法要么不能控制最大度量扭曲，要么不能保證球面參數(shù)化的有效性。針對(duì)這些不足，我們提出了一種基于AMIPS能量?jī)?yōu)化的球面參數(shù)化模型。給定一個(gè)初始的有效參數(shù)化，即使初始的扭曲比較大，我們通過(guò)求解一個(gè)帶有非線性約束的非線性優(yōu)化問(wèn)題來(lái)逐步改進(jìn)它，懲罰參數(shù)化過(guò)程中最大扭曲的同時(shí)，保證優(yōu)化過(guò)程中三角形不出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)。為了有效地求解該優(yōu)化問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種基于參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整的不精確Block Coordinat

5、e Descent方法的迭代優(yōu)化算法，得到了最優(yōu)半徑球面上的低扭曲的有效球面參數(shù)化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)論是在幾何簡(jiǎn)單還是復(fù)雜的模型上，該方法得到的球面參數(shù)化結(jié)果均能在保證雙射的基礎(chǔ)上，具有最低的最大扭曲和平均扭曲。此外，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法快速、有效，不依賴于初值，且對(duì)參數(shù)的選擇不敏感。
　　對(duì)于圖像特征點(diǎn)匹配問(wèn)題，我們通過(guò)構(gòu)造平面網(wǎng)格上低扭曲映射的方法來(lái)尋找兩張圖像之間具有幾何一致性的特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)。輸入是由SIFT算法[1]得到的含

6、有噪音的若干圖像特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)，我們希望能從含有大量噪音的特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)中尋找出盡可能多的具有幾何信息的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。針對(duì)該問(wèn)題，我們提出了基于擬共形映射函數(shù)空間的過(guò)濾方法，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于Beltrami系數(shù)和擬共形映射函數(shù)的帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，并提出了一種基于變量分離方法和迭代最小二乘方法的有效迭代算法。在每一步的迭代中，我們要求解兩個(gè)子問(wèn)題:關(guān)于擬共形映射函數(shù)的稀疏線性系統(tǒng)求解問(wèn)題和關(guān)于Beltrami系數(shù)的帶有線性約束的凸二次規(guī)劃問(wèn)題。為了衡