最優(yōu)化算法課程設計--解方程組及非線性方程組

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文檔簡介

1、　　課程設計任務書　　2012—2013 學年第1學期　　課程名稱：最優(yōu)化算法 　　設計題目：

2、解方程組及非線性方程組 　　完成期限：自 2012 年 12 月 17 日至 2012 年 12 月 21 日共 1 周　　指導教師（簽字）：年月日<

3、p>　　系（教研室）主任（簽字）：年月日　　一、問題重述　?。?）應用GMRES方法，用求解方程組　　（2）分別用不動點迭代方法和Newton法求解，初始迭代點為（0，0）<

4、p>　　二、問題分析　　問題1　　需用GMRES方法求解線性方程組，首先建立函數(shù)gmres函數(shù)，儲存如下將gmres.m保存，再新建文件并調(diào)用gmres函數(shù)，賦初始值，則可輸出函數(shù)值。　　問題2

5、;　　需用不動點迭代方法和Newton法求解非線性方程組，首先建立函數(shù)fun儲存，如下將fun.m保存；其次建立函數(shù)dfun用來求方程組的雅克比矩陣將dfun.m保存；再編程牛頓法求解非線性方程組將newton.m保存；然后將迭代過程寫入txt文檔文件名為iteration.txt；最終在調(diào)用matlab中newton函數(shù)，并賦初始值，則可輸出函數(shù)值。&

6、lt;b>　　三、求解方法　　問題1　　clear　　clc　　global A;</p

7、>　　format long　　A=[10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10];　　b=[9,7,8]'; 　　x0=[0,0,0]';　　params=[1e-14,30]; <p

8、>　　fprintf (' Error_rk \n')　　[x, error, total_iters]=gmresb(x0,b,'atv', params)　　%fprintf('x的近似解:\n')　　%fprintf('

9、 %10.5e\n',x)　　%fprintf ('迭代次數(shù):\n')　　%fprintf (' % d \n', total_iters)　　%fprintf ('解的誤差:\n')<p

10、>　　%fprintf (' %11 .5e \n', error)　　fprintf (' \n')　　問題二　　function df=dfun(x);　　%用來求解方程組的雅克比矩

11、陣儲存在dfun中　　f=fun(x);　　df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2')];　　df=conj(df');　　newton([0 0],0.00001,20)<

12、;/p>　　四、求解過程　　問題1　　function [x,error, total_iters] = gmresb(x0, b, atv, params)　　n=length(b);

13、　　errtol=params(1);　　kmax=params(2);　　x=x0;　　h=zeros(kmax);　　v=zeros(n,kmax);　　if norm(

14、x) ~=0　　r = b-feval(atv,x);　　else　　r = b;　　end　　rho=norm(r

15、);　　errtol=errtol*norm(b);　　error=[];　　error=[error,rho];　　total_iters=0;　　if(rho < errtol) &

16、lt;/p>　　return　　end　　v(:,1)=r/rho;　　beta=rho;　　k=0;</

17、b>　　while((rho > errtol) & (k < kmax))　　k=k+1;　　v(:,k+1)=feval(atv,v(:,k));　　%</p&

18、gt;　　% Modified Gram-Schmidt　　%　　for j=1:k　　h(j,k)=v(:,k+1)'*v(:,j);　　v(:,k+1)=v(:,

19、k+1)-h(j,k)*v(:,j);　　end　　h(k+1,k)=norm(v(:,k+1));　　%　　% Watch out for happy breakdown.

20、;　　%　　if(h(k+1,k) ~= 0)　　v(:,k+1)=v(:,k+1)/h(k+1,k);　　end　　% Formulate and solve the le

21、ast squares problem.　　% Update the residual approximation.　　%　　y=h(1:k+1,1:k)\(beta*eye(k+1,1));　　rho=norm(beta*eye(k

22、+1,1) - h(1:k+1,1:k)*y);　　error=[error,rho];　　end　　% At this point either k > kmax or rho < errtol.　　% It's

23、 time to compute x and leave.　　%　　total_iters=k;　　x = x + v(1:n,1:k)*y;　　function [ax] = atv(x)&

24、lt;b>　　global A　　ax=A*x;　　問題二　　function x=newton(x0,eps,N);　　con=0;

25、;　　%其中x0為迭代初值eps為精度要求N為最大迭代步數(shù)con用來記錄結果是否收斂　　for i=1:N;　　f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)});　　df=subs(dfun(x0),{&#

26、39;x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)});　　x=x0-f/df;　　for j=1:length(x0);　　il(i,j)=x(j);　　end　　i

27、f norm(x-x0)<eps　　con=1;　　break;　　end　　x0=x;&

28、lt;p>　　end　　五、結果　　問題一　　Error_rk 　　x =1.00000000000000

29、　　1.00000000000000　　1.00000000000000　　error=13.92838827718412 1.8675025938955 0.19666640169080 0.00000000000000　　total_iters = 3&l

30、t;b>　　>>　　問題二　　ans =　　1.54634284935363 1.39117624667800　　六、附件</b&

31、gt;　　問題一　　function [x,error, total_iters] = gmresb(x0, b, atv, params)　　n=length(b);　　errtol=params(1);&l

32、t;p>　　kmax=params(2);　　x=x0;　　%%　　h=zeros(kmax);　　v=zeros(n,kmax);　　%r=b-f

33、eval(atv,x);　　if norm(x) ~=0　　r = b-feval(atv,x);　　else　　r = b;　　end

34、　　rho=norm(r);　　errtol=errtol*norm(b);　　error=[];%　　% test for termination on entry%　　error=[error,rho];&

35、lt;/p>　　total_iters=0;　　if(rho < errtol) 　　return　　end%%　　v(:,1)=r/rho;

36、　　beta=rho;　　k=0;%　　% GMRES iteration　　%　　while((rho > errtol) &a

37、mp; (k < kmax))　　k=k+1;　　v(:,k+1)=feval(atv,v(:,k));%　　% Modified Gram-Schmidt%　　for j=1:k</

38、p>　　h(j,k)=v(:,k+1)'*v(:,j);　　v(:,k+1)=v(:,k+1)-h(j,k)*v(:,j);　　end　　h(k+1,k)=norm(v(:,k+1));%　　%

39、 Watch out for happy breakdown.%　　if(h(k+1,k) ~= 0)　　v(:,k+1)=v(:,k+1)/h(k+1,k);　　end　　%

40、　　% Formulate and solve the least squares problem.　　% Update the residual approximation.　　%　　y=h(1:k+1,1:k)\(beta*eye(k+1,1));&

41、lt;/p>　　rho=norm(beta*eye(k+1,1) - h(1:k+1,1:k)*y);　　error=[error,rho];　　end　　%% At this point either k > kmax or rho <

42、; errtol.　　% It's time to compute x and leave.　　%　　total_iters=k;　　x = x + v(1:n,1:k)*y;　　fu

43、nction [ax] = atv(x)　　global A　　ax=A*x;　　clear　　clc

44、;　　global A;　　format long　　A=[10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10];　　b=[9,7,8]'; 　　x0=[0,0,0]';

45、　　params=[1e-14,30]; 　　fprintf (' Error_rk \n')　　[x, error, total_iters]=gmresb(x0,b,'atv', params)　　%fprintf('x的近似解

46、:\n')　　%fprintf(' %10.5e\n',x)　　%fprintf ('迭代次數(shù):\n')　　%fprintf (' % d \n', total_iters)

47、;　　%fprintf ('解的誤差:\n')　　%fprintf (' %11 .5e \n', error)　　fprintf (' \n')　　問題二　　function

48、 f=fun(x);　　syms x1 x2 　　f1=x1^2-x2-1;　　f2=(x1-2)^2+(x2-0.5)^2-1;　　f=[f1 f2];　　建立函數(shù)dfun

49、;　　用來求方程組的雅克比矩陣將dfun.m保存到工作路徑中:　　function df=dfun(x);　　%用來求解方程組的雅克比矩陣儲存在dfun中　　f=fun(x);　　df=[diff(f,'

50、x1');diff(f,'x2')];　　df=conj(df');　　編程牛頓法求解非線性方程組將newton.m保存到工作路徑中:　　function x=newton(x0,eps,N);　　con=0;</b

51、>　　%其中x0為迭代初值eps為精度要求N為最大迭代步數(shù)con用來記錄結果是否收斂　　for i=1:N;　　f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)});　　df=subs(dfun(x0),

52、{'x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)});　　x=x0-f/df;　　for j=1:length(x0);　　il(i,j)=x(j);　　end

53、　　if norm(x-x0)<eps　　con=1;　　break;　　end　　x0=x;

54、　　end　　將迭代過程寫入txt文檔文件名為iteration.txt　　fid=fopen('iteration.txt','w');　　fprintf(fid,'iteration');</p&

55、gt;　　for j=1:length(x0)　　fprintf(fid,' x%d',j);　　end　　for j=1:i　　fprint

56、f(fid,'\n%6d ',j);　　for k=1:length(x0)　　fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));　　end　　end</b&

57、gt;　　if con==1　　fprintf(fid,'\n計算結果收斂！');　　end　　if con==0&l

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