非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文

1、<p>　　非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法</p><p>　　摘要：本文首先給出了升階法的定義，以及利用升階法求常微分方程的特解，然后給出幾個定理及其證明，運用這些定理可以求解非齊常系數(shù)線性微分方程，此為一般的方法.最后將所有常見的幾種類型的微分方程歸納為一類，使得解方程的過程得到了有效的簡化.</p><p>　　關鍵詞：非齊次；常系數(shù)；線性；解法</p>

2、<p><b>　　1.引 言</b></p><p>　　線性微分方程在常微分方程學中占有一定的地位，其中，研究非齊常系數(shù)線性微分方程的解法對進一步研究其他更復雜的常微分方程具有指導意義.微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布?貝努利、歐拉、法

3、國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究</p><p>　　近幾年，國內(nèi)外學者對非齊常系數(shù)線性微分方程的解法也有許多研究：</p><p>

4、;　　2005年11月，唐爍在安徽教育學院學報第二十三卷第六期發(fā)表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程組的初等解法》中利用初等方法，直接得到兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解方式.</p><p>　　2007年4月，趙輝在安徽電子信息職業(yè)技術學院學報第六期發(fā)表的《二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一種特殊解法》中對二階常系數(shù)非齊微分方程運用了一種特殊的解法，使得求解此方程變的方便快捷.</p>

5、<p>　　2008年6月，陳新明、胡新姣在大學數(shù)學第二十四卷第三期發(fā)表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程的簡單解法》中得到的求n階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般解更方便的方法，以及幾種特殊情形的表達式.</p><p>　　對于非齊次方程，我們的解法是通解加特解得方法，所謂通解，就是先解出非齊次方程組所對應其次方程組的基礎解系，然后再隨便找一個特解滿足非齊次方程組即可，然后把它們相加組合起來，就是非其次方程

6、的解本文將給出非齊次常系數(shù)線性微分方程的一些解法，有助于以后更簡便的求解這類方程。</p><p><b>　　2.主要結果</b></p><p>　　2.1非齊次常系數(shù)線性微分方程的一般解法</p><p><b>　　2.1.1升階法</b></p><p>　　為了求解非齊常系數(shù)線性微分方程

7、，首先要求方程的特解，這里給出求特解的一種方法-升階法。</p><p>　　定義：當為多項式時，設</p><p>　　此時，方程 （1）兩邊同時對求次，得</p><p>　　顯然方程（1）的解存在，且滿足上述各方程。最后一個方程的一個明顯解（不妨設時情況類似）是：</p><p>　　此時。由與通過倒數(shù)第二各方程可得，依次往上推，一直

8、推到（1），即可得到方程（1）的一個特解。上面這種方法稱為升階法。</p><p>　　2.1.2 解的結構定理</p><p>　　定理1(解的疊加原理)：設分別是方程和的特解，則有是方程的特解。</p><p>　　證明：將代人方程的左端，</p><p><b>　　得證。</b></p><p

9、>　　定理2 設是方程的特解，則分別是方程和的特解。(其中是實系數(shù)多項式) </p><p><b>　　證明：把代人方程</b></p><p><b>　　有：</b></p><p><b>　　所以；</b></p><p>　　(方程的兩端實部、虛部相同) 得證

10、。</p><p>　　階常系數(shù)非齊次線性微分方程的定義</p><p>　　對階常系數(shù)非齊次線性微分方程 </p><p>　　， （1）</p><p><b>　　其中為常數(shù)．記 </b></p><p><b>　　， （2）</b></

11、p><p>　　稱為方程(1)的特征函數(shù)，記，方程(1)可寫成</p><p>　　又記次多項式 （3）</p><p><b>　　引理1</b></p><p><b>　　， （4）</b></p><p><b>　　其中</b><

12、;/p><p>　　證明： 先證明， （5）</p><p>　　用數(shù)學歸納法．由求導法則得．假設(5)式對的情形成立，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即(5)式成立．由的定義得(4)式．</p><p><b>　　記</b></

13、p><p>　　引理2 若由(3)式給出，且，則</p><p><b>　　（6）</b></p><p>　　證明： 引理1中取，得。在上式中將換為次多項式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此有</b><

14、/p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，以及，</b></p><p><b>　　所以有，由此得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　（6）式成立。<

15、;/b></p><p>　　定理3 記。對階常系數(shù)非齊線性微分方程</p><p>　　，其中為常數(shù)，可以是復常數(shù)。若為的重根，則方程（7）的特解為</p><p>　　， （8）</p><p><b>　　其中由</b></p><p><

16、b>　?。?）</b></p><p><b>　　確定</b></p><p>　　證明： 設方程（）的一個解為。由引理1，。因為為的次多項式，所以當時，。將在處利用公式展開，得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　因為為的重根，所以，注意，方程（7）化

17、為</p><p>　　。 （10）</p><p>　　而為次多項式，以及為常數(shù)，所以當為多項式時，也是次多項式。記，由（10）式知（9）式成立。因為，所以。方程（7）的特解為 。</p><p>　　當為的與重根時，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。</p><p>　　定理4 若為的重根，則方

18、程（7）的通解為</p><p><b>　??； （11）</b></p><p>　　若為的重根，則方程（7）的通解為</p><p><b>　?。?2）</b></p><p>　　證明：若為的重根，由定理1，方程（7）的特解為，此時（9）式為，所以。對積分次再乘以得（11）式。<

19、/p><p>　　若為的重根，為了得到通解，用證明定理1的方法證明（12）式。設方程（7）的通解為，與定理1一樣證明，知由（10）式確定。又因為，此時（10）式為，其中，解得。由定理2得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　注意，兩邊積分次得再乘以得（12）式。</p><p>　　當時，不需經(jīng)（9）

20、式確定待定系數(shù)而直接得到（7）的特解。</p><p>　　推論1 對階微分方程，若為的重根，則特解為。 （13）</p><p>　　證明： 當時，由定理1得，這里由（9）式確定；當時，，所以（9）式為。由此解出后積分次，再乘以得到（13）式。</p><p>　　當，自由項還含或，且為的根時，也不需經(jīng)（9）式確定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解

21、。</p><p>　　定理5 記為虛數(shù)單位。對二階微分方程</p><p><b>　　或，</b></p><p><b>　　若為的根，則通解為</b></p><p><b>　　或，這里</b></p><p>　　。

22、 （14）</p><p>　　證明： 若為的根，則，所以。定理2中的。由定理2的（12）式取得的特解為（14）式，由此得結論。</p><p>　　2.2 非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法</p><p>　　證 由萊布尼茨求導公式知當時， 。于是當時，將代入方程（1）便得</p><p><b>　　。</b>

23、;</p><p><b>　　兩端消去可得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　但（3）中的系數(shù)為</b></p><p><b>　　而當?shù)碾A導數(shù)為</b></p><p><b

24、>　　于是。</b></p><p>　　最后我們便得到（1）再的變換下的形式</p><p>　　命題的建立說明要求解方程</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　的一個特解，只需求解方程（注意到）</p><p>　　的特解，從而得到（4）的特解。&l

25、t;/p><p><b>　　至于方程</b></p><p><b>　?。ɑ颍?）</b></p><p>　　可由歐拉公式化為求解方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　的特解的實部（或虛部），而此時（6）式命題可化為

26、</p><p><b>　　的形式。</b></p><p><b>　　應用舉例</b></p><p>　　3.1 非齊次常系數(shù)線性微分方程一般解法的應用</p><p>　　例1 求的一個特解。</p><p>　　解： 將方程兩邊同時對求導，得：</p>

27、<p>　　令，則。代入原方程得：。</p><p>　　所以是原方程的一個特解。</p><p>　　例2 求的一個特解。 ，</p><p>　　解：將方程兩邊同時對求導兩次，得： （4）</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，代

28、入方程（4），得：再將代人原方程得：積分，得：因為求原方程的一個特解，故取，所以是原方程的一個特解。</p><p><b>　　例3 求一個特解</b></p><p>　　解法(1)：特征方程： 特征根：</p><p>　　因為是特征根，所以特解</p><p><b>　　代入原方程得：</b&

29、gt;</p><p><b>　　得： </b></p><p>　　所以原方程的一個特解為：</p><p>　　分析：該解法主要分兩步走，先確定特解的表達形式，然后用待定系數(shù)法確定。這是我們常用的方法，也是眾多教科書上的方法。</p><p>　　解法(2)：作輔助方程：</p><p>　

30、　因為是特征根，所以該輔助方程特解</p><p>　　代入輔助方程得：，得</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原方程的一個特解為（取虛部）</p><p>　　分析：該解法主要是避免第一種解法中特解代人

31、方程時的煩瑣，能較快的得出特解。主要用到的原理是上述定理2和歐拉公式，若方程的右端是含有的形式，可以通過輔助方程特解的取實部來得到一個特解。一般對于方程：(1)或(2)作輔助方程，求特解，取實部或虛部，就能得到原非齊次方程的特解。用該方法求解時，可先分別求出方程(1)和(2)的特解，再用解的疊加原理即可得到特解 。</p><p>　　解法(3)：由于在確定方程中的特解時，上述解法是用待定系數(shù)法來確定的，這種方法

32、一般比較煩瑣。下面不妨用微分算子法來確定Y ，這種方法一般比較簡單 。 因為是的虛部，所以先求，再取其虛部。</p><p><b>　　因為：</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　所以： (取虛部)</b></p><p>　　分析：該

33、解法用微分算子法簡化了求解過程，結合了算子法和歐拉公式及上述定理2，是一個較快解決問題的方法。不過用的過程中要記住的一些性質 ，這樣才會得心應手。</p><p>　　解法(4)：原方程可化為：</p><p>　　因為是特征根 所以的特解為，</p><p><b>　　代入方程有：</b></p><p><

34、b>　　得：，即</b></p><p>　　由于與成共軛，所以與。成共軛函數(shù)的必為方程的特解，則</p><p><b>　　所以原方程的特解為</b></p><p>　　分析：該解法主要運用了歐拉公式和解的疊加原理及共軛函數(shù)的一些特性。該方法主要特點是它</p><p>　　通過改變形式，簡化了特

35、解代入方程時的煩瑣。</p><p>　　例4 對二階微分方程或，證明</p><p><b>　　若為的根，則通解為</b></p><p>　　或； （15）</p><p>　　若不是的根，則特解為</p><p>　　或 （16）</p>

36、<p>　　證明： 定理3的（14）式中取，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此得（15）式。</b></p><p>　　對二階微分方程，若不是的根，由定理1的（8）式，取，特解為分別取實部與虛部得（16）式。</p><p><b>　

37、　求解下列微分方程</b></p><p><b>　??； ； </b></p><p>　　解: 是的單根，由定理2的（12）式，通解為</p><p>　　特征方程是的重根。由定理2的（11）式，通解為</p><p><b>　　。</b></p><p&g

38、t;　　。是的重根。由定理3的特解為，其中</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以通解為。</b></p><p>　　3.2非齊次線性微分方程特殊解法的應用</p><p><b>　　例1 </b></p><p>