數(shù)學(xué)發(fā)展史概論-海城高中

1、<p><b>　　數(shù)學(xué)發(fā)展史概論</b></p><p>　　海城市高級(jí)中學(xué)校本課程教材(初稿)</p><p>　　高一數(shù)學(xué)組: 劉海波</p><p><b>　　李曉峰</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p>

2、　　第一章 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展</p><p>　　第二節(jié) 數(shù)學(xué)的開始————————————————————————3</p><p>　　第一節(jié) 三個(gè)發(fā)展時(shí)期———————————————————————17</p><p><b>　　第二章 數(shù)學(xué)家史話</b></p><p>　　第一節(jié) 畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派———

3、————————————————49</p><p>　　第二節(jié) 數(shù)學(xué)物理雙料大師——牛頓—————————————————53</p><p>　　第三節(jié) 多才多藝的萊布尼茨————————————————————62</p><p>　　第四節(jié) 幾何學(xué)里的哥白尼——羅巴切夫斯基—————————————70</p><p>　　第五節(jié) 最

4、勤奮的數(shù)學(xué)家——?dú)W拉——————————————————76</p><p>　　第六節(jié) 偉大的數(shù)學(xué)家高斯—————————————————————78</p><p>　　第七節(jié) 數(shù)學(xué)成績不及格的數(shù)學(xué)家——————————————————82</p><p>　　第八節(jié) 數(shù)學(xué)奇才──伽羅華————————————————————86</p><

5、p>　　第九節(jié) 希爾伯特—————————————————————————87</p><p>　　第十節(jié) 數(shù)學(xué)奇才、計(jì)算機(jī)之父──馮·諾依曼————————————89</p><p>　　第十一節(jié) 自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家——華羅庚———————————————92</p><p>　　第十二節(jié) 興趣是最好的老師——陳景潤———————————————9

6、8</p><p>　　第十三節(jié) 兩位卓越的女?dāng)?shù)學(xué)家———————————————————101</p><p>　　第三章 數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)</p><p>　　第一節(jié) 數(shù)學(xué)歷史上的三次危機(jī)———————————————————104</p><p>　　第二節(jié) 近代世界數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移——————————————————106&l

7、t;/p><p>　　第一章 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展</p><p>　　第一節(jié) 數(shù)學(xué)的開始</p><p>　　在一百萬年前(也可能在兩三百萬年前)，地球上出現(xiàn)了最早的人類。原始的人類和大自然艱難地搏斗著。在長期的勞動(dòng)中，他們不斷進(jìn)步，慢慢地產(chǎn)生了“數(shù)”的思想。</p><p>　　他們找到了食物，會(huì)想到這是“有”；找不到食物，就會(huì)想到“無”。要

8、是找到大量的食物，他們認(rèn)為是“多”；得到的食物不夠吃，他們認(rèn)為這是“少”。有、無和多、少，是我們祖先最早概括出來的“數(shù)”的思想。</p><p>　　直到兩萬五千年前，人們說“用你的槍頭換我的鹿”的時(shí)候，還只能用一個(gè)指頭表示一只鹿，三個(gè)指頭表示三個(gè)槍頭。這種一個(gè)指頭表示一件東西、三個(gè)指頭表示三件東西的原始計(jì)數(shù)法，就是他們掌握的全部算術(shù)知識(shí)了。在那以后的幾千年里，他們一直把任何大于三的數(shù)量理解為“一群”，或者“一堆

9、”。</p><p>　　那時(shí)候沒有城鎮(zhèn)和村莊，人們過著群居穴處的生活：晚上，他們擠在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群結(jié)隊(duì)地到處尋找可以獵取的鳥獸，采集能夠充饑的漿果、根莖和谷粒。這種生活是毫無保障的，常常是饑一頓、飽一頓。</p><p>　　在他們的財(cái)物中，除了御寒的獸皮、狩獵的武器、盛水的東西，也許還有熊牙或貝殼做的項(xiàng)鏈。他們的生活這么簡單，當(dāng)然不需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，就是那

10、種簡單的手指計(jì)數(shù)，也用得很少。</p><p>　　狩獵和采集的生活，更需要識(shí)別方向和區(qū)分季節(jié)的知識(shí)。有了區(qū)分季節(jié)的知識(shí)，就可以知道遠(yuǎn)處樹林里的果實(shí)什么時(shí)候成熟；有了識(shí)別方向的知識(shí)，就能夠確定怎么去、又怎么回來。這些知識(shí)，是在漫長的年代里，不斷積累和豐富起來的。</p><p>　　在一個(gè)熟悉的地區(qū)漫游生活，山脈、湖泊、河流就能當(dāng)作指示方向的路標(biāo)。可是，原始人很難在一個(gè)地方長期定居。樹林里

11、的漿果和塊莖，過一段時(shí)間就被吃光了；飛禽和走獸，為了躲避人們經(jīng)常的襲擊，也逃到別的地方去了；特別是發(fā)生干旱的時(shí)候，人們不得不趕快離開熟悉的地方，去尋找新的水源。在完全陌生的環(huán)境里，指示方向的只有日月和星辰了。</p><p>　　太陽是最方便的路標(biāo)。海邊部落的人們發(fā)現(xiàn)：太陽每天早上從波濤中升起，晚上落到山崗的后面去。他們就記?。撼跎募t日指示著大海的方向；正在下落的夕陽指示著山崗的方向。</p>&

12、lt;p>　　晚上，用星辰來確定方向很可靠。我們不妨想象一下那時(shí)候的情景：夜幕降臨，人們?cè)诙纯诨蛘咄潦摇⒏C棚前點(diǎn)起一堆堆篝火，大家圍坐在篝火旁邊。他們抬頭凝視那神奇的天空——繁星點(diǎn)點(diǎn)，深不可測。經(jīng)過了不知多少個(gè)夜晚的觀察，他們發(fā)現(xiàn)：一些星群組成的簡單形狀，每天晚上都能辨認(rèn)出來，而且總是在天空的一定位置上，沿著一定的方向，緩慢地移動(dòng)著。</p><p>　　在北邊的天空上，有一組最引人注目的星群，這就是我們現(xiàn)

13、在說的北斗七星。北斗七星屬于大熊星座，把這個(gè)星座比較亮的星合起來看，有點(diǎn)像一只大熊。斗頭上的四顆像是大熊身體的后部，斗柄的三顆像是大熊的尾巴。</p><p>　　離北斗七星不太遠(yuǎn)的地方，還有一顆相當(dāng)亮的星，那就是有名的北極星。它年年月月，總是出現(xiàn)在一定的地方，幾百年也很少變化，好像釘在那里不動(dòng)似的。天長日久，我們的祖先就懂得了北極星是一個(gè)非常理想的路標(biāo)！他們?cè)陂L途跋涉中需要確定方向的時(shí)候，就等到夜幕降臨，在繁星

14、閃爍的天空，先找到北斗星，把斗頂兩顆連成一條直線，再朝著斗口的方向，把這條直線延長五倍的位置，在那個(gè)位置上就看到一顆比較亮的星，這就是北極星。找到了北極星，其他的方向就很容易確定了。</p><p>　　日月星辰不只是人類最早的路標(biāo)，還是人類最早的時(shí)鐘。生活在熱帶北部的原始狩獵者，早晨總是看到在陽光下，東西的影子長長地向西指著；中午太陽升到最高點(diǎn)的時(shí)候，影子就很短，甚至看不到了；當(dāng)太陽向西下落的時(shí)候，影子又長了，

15、并且不斷地向東面伸長。這樣，由影子的長短變化，他們就能夠大體估量出白天的時(shí)間了。</p><p>　　夜晚，他們發(fā)現(xiàn)圓月在空中最高點(diǎn)的時(shí)候，恰好是半夜。經(jīng)過長久的觀察，他們還可以根據(jù)一些星群的位置變化，判斷夜間的時(shí)間。</p><p>　　要知道比一天更長的時(shí)間，想來我們的祖先一定是依靠月亮。一夜接一夜，他們看到月亮慢慢地由圓到缺，最后全看不見了。過了幾個(gè)漆黑的夜晚，月牙又重新出現(xiàn)，并且慢

16、侵地又變成圓月。</p><p>　　當(dāng)圓月升起的時(shí)候，一個(gè)部落來到一片樹林邊。林子的枝頭上掛滿了果實(shí)，可是還沒有成熟。部落中有經(jīng)驗(yàn)的長者說話了：現(xiàn)在別搞這些果子，等下次月亮再圓的時(shí)候咱們回來，這些呆子就好吃啦！于是，大家又趕到更遠(yuǎn)的地方去尋找食物。他們必須按時(shí)回來摘取成熟的果實(shí)，這就需要計(jì)算天數(shù)了。</p><p>　　對(duì)原始采集者來說，數(shù)天數(shù)是一個(gè)大難題?？刹皇锹?！時(shí)間一去不復(fù)返，數(shù)天

17、數(shù)不能象數(shù)死鹿那樣，把它們擺成一排，扳起指頭去數(shù)。開始，他們很可能是在樹上或者在棍棒和石頭上刻上一道痕，表示過去了一天，刻上兩道痕，表示過去了兩天。久而久之，他們發(fā)現(xiàn)，兩次滿月之間總是相隔三十天，并且用一道大點(diǎn)兒的刻痕來表示一次滿月。</p><p>　　月復(fù)一月，年復(fù)一年，他們逐漸察覺到滿月的次數(shù)和氣候的變化有關(guān)系。他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：春、夏、秋、冬四季往復(fù)一次，恰好是十二次滿月的天數(shù)——三百六十天。于是第一個(gè)包括

18、四季的月歷產(chǎn)生了。</p><p>　　我們的祖先，就是這樣開始有了數(shù)數(shù)和觀察圖形的數(shù)學(xué)知識(shí)。</p><p>　　一萬多年前，隨著經(jīng)驗(yàn)的豐富、知識(shí)的增長和工具的改進(jìn)，人類逐漸開創(chuàng)了嶄新的生活，這就是學(xué)會(huì)了種植和飼養(yǎng)！</p><p>　　在回到過去居住過的地方的時(shí)候，我們的祖先常常發(fā)現(xiàn)，上次被他們無意撒落的谷粒，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)芽生長；被遺棄的小動(dòng)物也長大了。慢慢地，他

19、們學(xué)會(huì)了種植植物，飼養(yǎng)動(dòng)物。從此，他們不再四處飄流，靠采摘野菜和漿果生活，而是播種和收獲自己的大麥、小麥和谷子，還有豌豆、扁豆和胡蘿卜。在忠實(shí)的伙伴——狗的幫助下，他們馴養(yǎng)著羊、豬和牛。原始的采集者和狩獵者，開始變成了農(nóng)民和牧民！</p><p>　　定居生活以后，人們的財(cái)物越來越多，這就需要經(jīng)常記錄和計(jì)算耕具、土地、籬笆、莊稼和畜群了。最早的記錄方法，就是前面說到的，用一個(gè)記號(hào)表示一件東西、兩個(gè)記號(hào)表示兩件東西

20、，叫做“簽法”。在秘魯，印加人用在繩子上打結(jié)來記下收獲谷物的捆數(shù)。在我國，也有結(jié)繩記數(shù)的古老傳說。直到今天，在歐洲、亞洲和非洲的部分地區(qū)，還有一些牧羊人用在棍子上刻痕的辦法，來計(jì)算自己的羊群哩！</p><p>　　從事農(nóng)牧業(yè)以后，人們必須準(zhǔn)確地預(yù)計(jì)生羔、產(chǎn)犢和播種、收獲的時(shí)間，先前的簡陋月歷，顯然是不夠用了。要是用三百六十天的月歷來推算季節(jié)，頭一年差五天，第二年就會(huì)差十天，年數(shù)多了，就亂套了。這樣，編制精確的日

21、歷，就成為一件非常重要的事情。</p><p>　　記錄財(cái)物和編制日歷，促使人們發(fā)展書寫的數(shù)字。</p><p>　　我們今天知道的最早的書寫數(shù)字，產(chǎn)生在五千年前的埃及和美索不達(dá)米亞。埃及人是把數(shù)字寫在一種紙草上，美索不達(dá)米亞的巴比倫人是把數(shù)字寫在軟粘土上，他們都是用單劃表示個(gè)位數(shù)，用不同的記號(hào)表示十位數(shù)和更高位的數(shù)。三千年后，羅馬人照樣采用單劃組成一到四的數(shù)字，并且至今還有人在用.<

22、;/p><p>　　在我國殷代的甲骨文字中，就有很多是數(shù)字。殷代人已經(jīng)能用成文數(shù)字記錄十萬以內(nèi)的自然數(shù)。在他們的數(shù)字中，頭四個(gè)字，即一、二、三、四，也是由單劃組成的。左圖，是殷甲骨文、周秦金文、漢朝時(shí)候用的數(shù)字和現(xiàn)代漢語中的數(shù)字，我們從中可以看出它們之間的演變情況。</p><p>　　在早期的數(shù)字系統(tǒng)中，最引起人們興趣的，是美洲中部馬雅人的數(shù)字。馬雅人與歐洲、亞洲和非洲的文化完全隔絕。他們只

23、用三個(gè)符號(hào)——點(diǎn)、橫和橢圓，就可以寫出任何自然數(shù)。用點(diǎn)和橫可以從一寫到十九；在任何數(shù)下面加上一個(gè)橢圓，就是那個(gè)數(shù)放大二十倍。但是，在計(jì)算時(shí)間的時(shí)候，他們調(diào)整了記數(shù)規(guī)則：加第二個(gè)橢圓的時(shí)候，表示乘上十八，而不是二十。馬雅人所以做出這樣一條規(guī)定，大概是原始狩獵者的月歷是三百六十天的原故。</p><p>　　那時(shí)候，馬雅人也使用三百六十五天的太陽歷，一年被分成十八個(gè)月，每個(gè)月二十天，另外加上五天作為禁忌日。他們通常在

24、石柱上刻出人面形的獨(dú)特?cái)?shù)碼記錄日期。</p><p>　　埃及：建筑、測量和三角形</p><p>　　非洲東北部有一條舉世聞名的大河——尼羅河。它穿過非洲北部的撒哈拉大沙漠，流入地中海，兩岸狹長地帶便成了肥沃的綠洲。河的下游流經(jīng)的地方，孕育了最古老文明之一的埃及。</p><p>　　尼羅河三角洲一帶盛產(chǎn)一種水草，名叫紙草。古埃及人把紙草的莖一層一層地撕成薄片，再

25、一張一張地粘起來，就成了寫字用的紙。有不少古埃及紙草紙一直被保留到今天，成為我們考察埃及歷史文化的珍貴材料。</p><p>　　埃及人大約在公元前三千五百年就已經(jīng)有了文字。保存下來的最早記錄數(shù)學(xué)知識(shí)的紙草紙現(xiàn)在珍藏在英國大英博物館。寫這份紙草紙的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年間的阿摩斯。據(jù)他說，紙草紙上的內(nèi)容，又是他從公元前兩千二百年以前的舊卷子上轉(zhuǎn)錄下來的。在這份紙草紙上，記載了一些分?jǐn)?shù)和算術(shù)四則運(yùn)算

26、的說明，還有關(guān)于測量的規(guī)則。</p><p>　　古埃及的皇帝叫做“法老”，著名的金字塔就是法老的墳?zāi)?。今天，在尼羅河三角洲南面，散布著七十多座金字塔。齊阿普斯皇帝的金字塔是其中規(guī)模最大的一座：塔高一百四十六點(diǎn)五米；塔基每面長約二百四十米，繞塔一周約一公里；塔內(nèi)有甬道、石階、墓室等。這座金字塔是在公元前兩千八百年建成的，在一八八九年巴黎埃菲爾鐵塔建成以前的四千六百多年間，它一直是世界上最高的建筑物。這確實(shí)是了不起

27、的奇跡！古埃及人在建造這些巨大建筑物的過程中，積累了豐富的幾何學(xué)知識(shí)。</p><p>　　我們?cè)O(shè)想，在建造金字塔之前，一定得先畫出一張平面圖。估計(jì)這張圖是畫在粘土板上的，它大概就是世界上的第一張平面圖了。分析起來，制圖人肯定知道，圖樣和竣工后的建筑物，尺寸盡管可以不同，形狀卻是一樣的。由此可以判斷，當(dāng)時(shí)的埃及人已經(jīng)掌握了比例和相似形的知識(shí)。</p><p>　　畫出平面圖后，應(yīng)該平出一大

28、片空地，在地上放出實(shí)際尺寸，準(zhǔn)備動(dòng)工。建筑材料都是幾噸重的大石塊，一座金字塔要用許多這樣的石塊。那時(shí)候還沒有發(fā)明車輛，也沒有像樣的道路，只能用船沿著尼羅河把石頭運(yùn)到盡量靠近的地方，再用滾木把它們運(yùn)到工地。每塊石頭都得事先按一定的形狀鑿好、磨平。石塊的每個(gè)角，都要用丁字尺或者三角板反復(fù)校正成直角。接著，鋪設(shè)龐大的石頭層作地基。第二層要按一定的比例小一些，并且使每一層正好放在下面一層的中間。這樣一層一層往上加，四面相等地縮小，最后準(zhǔn)確地在塔

29、尖會(huì)合在一點(diǎn)。</p><p>　　一座金字塔，要用幾十萬人和幾百萬塊巨石，在幾十年的時(shí)間內(nèi)才能建成，能夠不出差錯(cuò)，你看古埃及人在設(shè)計(jì)、計(jì)算、測量和施工方面該有多么高明！</p><p>　　怎樣準(zhǔn)確畫出直角，很可能是古埃及人要解決的最大難題。因?yàn)榻鹱炙牡鼗仨殗?yán)格地成為正方形，四個(gè)角就必須是嚴(yán)格的直角；不管是哪一個(gè)角有微小的偏差，都會(huì)使整個(gè)建筑物走形。那時(shí)候還沒有發(fā)明測量儀器，要做出周

30、長一公里那么大的正方形，實(shí)在不簡單!</p><p>　　他們很可能是這樣來解決這個(gè)問題的：先在地上打進(jìn)兩個(gè)木樁，然后繃緊木樁間的繩子，這樣就畫出一條直線，成為金字塔的一條邊線。然后，在兩個(gè)木樁上各系上一條繩子，繩子的長度要超過兩個(gè)木樁距離的一半。拉緊繩子的末端，以木樁為原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，畫出兩條相交的圓弧來。過這兩條圓弧的交點(diǎn)，畫出另一條直線，和頭一條直線相交，夾角就是準(zhǔn)確的直角。這后一條直線，就是地基的另一條邊線。&

31、lt;/p><p>　　那么，要檢查墻壁或者巨石的一面是否直立，怎樣在空中做出直角來呢？古埃及人巧妙地使用了錘準(zhǔn)線。這個(gè)方法直到今天還在使用著。錘準(zhǔn)線自由擺動(dòng)，在空中畫出圓弧，當(dāng)它停下來的時(shí)候就與地面成直角。要是墻壁能和錘準(zhǔn)線平行，它就和地面垂直。</p><p>　　現(xiàn)在，我們都知道畫直角的簡便方法是使用直角三角板。但是，這必須首先做出一個(gè)直角三角形來。</p><p&g

32、t;　　古埃及人使用繩子丈量土地。職業(yè)結(jié)繩者的工作就是在測量用的繩子上打出等間隔的繩結(jié)?？赡芫褪撬麄冏钕劝l(fā)現(xiàn)了某些長度一定的三條繩子所組成的三角形，其最長邊所對(duì)應(yīng)的那個(gè)角是直角。其中一種是由3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)等間隔的繩結(jié)長度組成的；另一種取5個(gè)、12個(gè)、13個(gè)等間隔的繩結(jié)長度。把窄木條鋸成這樣的長度，首尾相接，就做成一個(gè)直角三角板。有了這種三角板，以后的測量和畫圖就方便了。</p><p>　　農(nóng)民在蓋自己住的小屋

33、的時(shí)候可以說：“我這個(gè)屋子六步長，四步寬，屋頂比我腦袋高一柞”。設(shè)計(jì)大型建筑金字塔可不能這樣。因?yàn)楣と顺汕先f，每個(gè)人的步和柞都不一樣。于是，他們就規(guī)定出以某一個(gè)人——據(jù)說是當(dāng)時(shí)國王身體的某一部分的長短，作為標(biāo)準(zhǔn)單位；再按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，制作一定長度的木頭條或者金屬條，作為大家通用的度量工具。這就是最早的尺子。</p><p>　　在埃及，主要的長度單位是腕尺，它是自肘到中指尖的長度。小一些的單位有：掌尺，它等于七

34、分之一腕尺；指尺，它等于四分之一掌尺。因?yàn)槟菚r(shí)候的埃及人理解分?jǐn)?shù)的意義非常費(fèi)勁，所以這些小單位很有用。今天，人們熟悉分?jǐn)?shù)了，但是在習(xí)慣上，大家一樣喜歡用小單位。比如英國人和美國人總是說七英寸，不肯說十二分之七英尺。在我國，有說半尺的，但是誰也不說十分之五尺。</p><p>　　每年收獲季節(jié)，埃及的僧侶都要向農(nóng)民征收賦稅。農(nóng)民主要是上交自己的農(nóng)產(chǎn)品，這就需要標(biāo)準(zhǔn)重量單位來稱量谷子、油、酒等；而捐稅的多少，又是按土

35、地的多少來定的，這又需要丈量和計(jì)算土地面積了。</p><p>　　求面積的方法，最初很可能是工匠在鋪設(shè)方磚地面的時(shí)候?qū)W會(huì)的。他們發(fā)現(xiàn)：一塊地面，如果是三磚長、三磚寬，需要鋪九塊磚(3×3)；另一塊地面，三磚長、五磚寬，就需要鋪十五塊磚(3×5)。這樣，計(jì)算正方形和長方形的面積，只消用長乘以寬就行了。</p><p>　　但是問題在于，不是所有的土地都是正方形或者長方形

36、。有些土地，好像那兒都是邊，那兒也有角，形狀很不規(guī)則，把它們分成若干個(gè)三角形倒是方便的。怎樣才能求出三角形的面積呢？其實(shí)，一旦掌握了長方形和正方形面積的求法，三角形面積也就不難求了。</p><p>　　一塊正方形的麻布，可以折疊成兩個(gè)大小相等的三角形，每個(gè)三角形的面積，恰好是正方形面積的一半。估計(jì)古埃及人正是從這類簡單的線索中，學(xué)會(huì)了求三角形面積的方法：長乘寬，再除以二。</p><p>

37、;　　測量土地的工作，想來是十分繁重的。因?yàn)榘＜暗耐恋刂饕植荚谀崃_河沿岸，每年七月中旬，河水開始泛濫，淹沒大量土地，一直到十一月才開始退落。洪水退去后，田野里留下一層肥沃的淤泥，幫助農(nóng)民獲得好收成；可是洪水把地界沖掉了，年年都得重新測量土地。因此，人們常把幾何學(xué)起源于埃及的原因，歸功于尼羅河水的泛濫。</p><p>　　在大量的測量工作中，埃及人當(dāng)然會(huì)碰到“圓”這類難辦的圖形。他們感到難辦的地方，是無法把圓分

38、成許多塊三角形，而每一塊都是由三條直線組成的標(biāo)準(zhǔn)三角形。因此，古埃及人認(rèn)為圓是天賜予人們的神圣圖形。今天，我們都很熟悉圓，天天和圓打交道，可是要認(rèn)識(shí)和掌握好圓的性質(zhì)也不容易。</p><p>　　實(shí)踐出真知。早期的埃及人，一定是用繩子繞木樁的方法來畫圓。他們從長繩子畫出來的圓大，短繩子畫出來的圓小，知道了圓面積的大小，是由圓周到圓心的距離來決定的。這就是我們常說的半徑。</p><p>　

39、　到了三千五百年前左右，當(dāng)金字塔已成為古跡的時(shí)候，一個(gè)叫阿赫美斯的埃及文書，寫出了一條這樣的法則：圓的面積，非常接近于半徑為邊的正方形面積的三又七分之一倍。這在當(dāng)時(shí)是很了不起的發(fā)現(xiàn)！</p><p>　　阿赫美斯是怎樣得到這個(gè)求圓面積的方法的，我們恐怕永遠(yuǎn)弄不清楚，只能猜想他大概還是用劃三角形的方法?，F(xiàn)在，他的紙草紙手稿裝在精致的鏡框里，懸掛在倫敦大英博物館里。</p><p>　　分散在

40、世界各地博物館中的紙草紙手稿，雖然能幫助我們了解古埃及的數(shù)學(xué)，不過現(xiàn)有的大部分資料，還是從考察尼羅河畔的古建筑得來的。</p><p>　　有的金字塔，四面準(zhǔn)確地對(duì)著東西南北，可見古埃及人確定方向的本領(lǐng)很高明。他們可能是根據(jù)一個(gè)高大的石柱陰影，來確定東西南北的。</p><p>　　有一座大廟的遺址，至今屹立著一排柱子。在一年三百六十五天中，只有夏至這一天早晨的陽光，能沿著這一排柱子照射進(jìn)

41、去。數(shù)一數(shù)太陽光兩次正好沿著這行柱子照進(jìn)廟堂的天數(shù)，這就是一年的長短。</p><p>　　在測定時(shí)間方面，埃及人也是根據(jù)日月星辰的位置和物影來確定的。不過，他們比原始狩獵者和采集者進(jìn)步得多。早晨，原始人看到長長的物影，頂多只能說“時(shí)間還早啦!”埃及人有日規(guī)，看看有刻度的木條上的影子，就能說出“上午第二個(gè)時(shí)辰快到了！”</p><p>　　從此，人們有了真正的科學(xué)。不過，古埃及留下來的許多

42、圖畫，畫的是上帝掌管日夜時(shí)辰的忙碌情景?？磥硭麄兪潜持粋€(gè)十分沉重的迷信包袱，在科學(xué)的道路上艱難地摸索著。</p><p>　　美索不達(dá)米亞：貿(mào)易、天文和圓</p><p>　　尼羅河三角洲以東，大約一千六百公里的地方，奔流著另外兩條大河，一條叫底格里斯河，一條叫幼發(fā)拉底河。這兩條河發(fā)源于今天的土耳其境內(nèi)，流經(jīng)敘利亞，在伊拉克南部匯合成阿拉伯河，最后流入波斯灣。兩河之間和沿岸一帶叫做美索不

43、達(dá)米亞，是另一個(gè)最古老的文化發(fā)源地。</p><p>　　“美索不達(dá)米亞”一詞是希臘語，意思是“兩河中間的地方”。它西接阿拉伯沙漠，東鄰扎格羅斯山脈。很早以前，人類就在那里生息繁殖，曾經(jīng)建立了巴比倫等古國，并且創(chuàng)造了輝煌的美索不達(dá)米亞文化。</p><p>　　歷史學(xué)家把這支古老的文化分為蘇馬連、巴比倫、亞述和迦勒底四個(gè)時(shí)期。蘇馬連人是美索不達(dá)米亞文化的創(chuàng)始者，他們?cè)谖迩暌郧熬陀辛讼笮挝?/p>

44、字。后來的巴比倫人和亞述人繼承和發(fā)展了蘇馬連文化，使得美索不達(dá)米亞在數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面的一些成就超過了埃及。</p><p>　　在美索不達(dá)米亞和在埃及一樣，文化主要把持在統(tǒng)治階級(jí)僧侶手里。大約在公元前兩千年，兩地的僧侶分別建立了寺廟圖書館，把記載著各種知識(shí)的秘本收藏在里邊。除了少數(shù)僧侶外，一般人是無法閱讀這些書的。這樣也就影響了這兩支古老文化的傳播和交流。</p><p>　　美索不達(dá)米亞

45、很早就有大量的對(duì)外貿(mào)易。它自己沒有建筑用的木材，沒有僧侶和君王穿戴的綢緞和寶石，沒有做豐盛佳肴的調(diào)料，缺少制作寺廟供器的貴重金屬。為了得到這些東西，許多商人趕上毛驢或者駱駝，組成商隊(duì)，翻過扎格羅斯山，穿過阿拉伯沙漠，西到黎巴嫩買杉木，北到小亞細(xì)亞買金、銀、鉛、鋼，東面可能遠(yuǎn)到印度和中國，去換回絲綢、染料、香料和寶石。</p><p>　　商人們?cè)谫Q(mào)易中就會(huì)遇到計(jì)量的問題。起初，他們買賣商品不是論斤兩，而是按馱。比

46、如一頭驢馱的糧食換一頭驢馱的棉花。但是在進(jìn)行昂貴商品交易的時(shí)候，就必須精打細(xì)算了。于是，隨著貿(mào)易的發(fā)展，天平和標(biāo)準(zhǔn)容器在美索不達(dá)米亞普遍使用起來。商人們?cè)诜Q量笨重物品的時(shí)候，用泰侖為單位(約合25公斤)，稱量精細(xì)物品的時(shí)候，以舍克為單位(約合9克)。</p><p>　　以物易物，給商人們帶來沉重的負(fù)擔(dān)和很多的不便。比如想要用糧食換木材，但是有木材的不一定要糧食；而要糧食的又不一定有木材。要是有一種東西大家都愿意

47、要，那么商人們之間的貿(mào)易就會(huì)方便得多了。曾經(jīng)有一個(gè)時(shí)期，差不多人人都愿意要大麥。那時(shí)候大麥除了做面包和釀酒外，還可以用來支付工資和換取任何別的東西。這樣，商人們到外地做買賣，只要用毛驢和駱駝馱上大麥去，就很快換回自己所需要的東西了。</p><p>　　后來，人們發(fā)現(xiàn)銀子能換的東西多，攜帶方便，久放不壞，人人都愿意要，是一種做買賣的好物品。開始，商人們按照成交的多少，每次都得稱量銀子。以后，就鑄造成一小塊一小塊的

48、銀條，每塊銀條上都標(biāo)好了重量。這就是世界上最早的金屬貨幣。我國古代用銀子買賣東西的情況也是這樣。</p><p>　　金屬貨幣的出現(xiàn)，使人們第一次有了一種可以長期儲(chǔ)存、又不會(huì)變壞的財(cái)富。它促進(jìn)了貿(mào)易和生產(chǎn)的發(fā)展！</p><p>　　隨著貿(mào)易范圍和數(shù)量的不斷擴(kuò)大，人們需要經(jīng)常掌握買進(jìn)和賣出的情況，于是又出現(xiàn)了記賬和算賬的問題。</p><p>　　古老的美索不達(dá)米亞

49、文字和書寫材料使得記賬成為一項(xiàng)非常艱巨的工作。書寫的時(shí)候，得先把粘土做成方形的板磚，然后用尖木棍在上面刻字，最后把泥板放在太陽下曬干或者在火上烤干。這么復(fù)雜的過程，寫起來很慢，改寫、保管和查看也很不方便。不過，一經(jīng)寫成就不容易損壞了。近年來，考古學(xué)家在兩河流域發(fā)掘出成千塊這種刻有楔形文字的泥板，雖然經(jīng)歷了幾千年，上面刻寫的圖文仍然清晰可見。這是我們了解古代美索不達(dá)米亞文化的重要依據(jù)。</p><p>　　盡管當(dāng)時(shí)

50、美索不達(dá)米亞的對(duì)外貿(mào)易量大，有相當(dāng)精密的度量衡，又有了金屬貨幣，但是它的文字記賬方法實(shí)在落后。幸好，那時(shí)候一般人都不采用書面的計(jì)算法，而是在地上鋪一層沙子，在沙子的溝里放小石子進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)裝置和埃及人的辦法差不多，我們也可以把它叫做原始的算盤。它雖然簡陋，卻方便好用。</p><p>　　在美索不達(dá)米亞商人的算盤里，當(dāng)一個(gè)石子在溝與溝之間移動(dòng)的時(shí)候，數(shù)值也跟著相應(yīng)變化：第一行為1，第二行為10×1，第

51、三行為10×10×1，在第四行為10×10×10×1，如此等等。就是說，每一行溝里的石子比它前一行里的數(shù)值大十倍，比它后一行里的數(shù)值小十倍。用我們現(xiàn)在的話來說，這就是以十為基數(shù)。</p><p>　　大多數(shù)的古代數(shù)字系統(tǒng)都用十做基數(shù)。我們猜測，人們?cè)陂_始的時(shí)候大概都是用十個(gè)手指來數(shù)數(shù)的。其實(shí)，“十”這個(gè)數(shù)并沒有什么奇特的地方，用別的數(shù)做基數(shù)也同樣很方便。美洲中部的

52、馬雅人以二十為基數(shù)，想來他們?cè)陂_始的時(shí)候，很可能是用手指和腳趾一起來計(jì)數(shù)的。</p><p>　　美索不達(dá)米亞人有時(shí)也以六十為基數(shù)。由巴比倫人創(chuàng)造的六十進(jìn)位制一直沿用到現(xiàn)在。我們今天計(jì)算時(shí)間，就是把一小時(shí)分成六十分鐘，一分鐘又分成六十秒；對(duì)于地球經(jīng)緯度的劃分，也是把一度分成六十分，每一分又分成六十秒。六十進(jìn)位制的產(chǎn)生，可能是和天文學(xué)的發(fā)展有關(guān)系。蘇馬連人和巴比倫人在天文學(xué)上曾取得了很高的成就。</p>

53、<p>　　除了算盤，美索不達(dá)米亞人還掌握了另外一些簡便的數(shù)字計(jì)算方法。在靠近幼發(fā)拉底河岸的古代廟宇圖書館遺址里，曾發(fā)掘出大量的粘土板。有不少粘土板上刻著乘法表和加法表，還有一些刻著平方表。他們用簡單的平方表，就能很快算出任何兩數(shù)相乘的積?，F(xiàn)在，我們來看他們是怎樣算96×102的：　　第一步，(102+96)÷2＝99；　　第二步，(102-96)÷2＝3；　　第三步，查平方表，知99的

54、平方是9801；　　第四步，查平方表，知3的平方是9；　　第五步，9801-9＝9792＝96×102。</p><p>　　美索不達(dá)米亞人的這種求積方法是正確的，我們用現(xiàn)在的代數(shù)方法很容易弄清楚它的原理。</p><p>　　利用平方表做乘法沒有算盤方便，所以它不像算盤那樣流傳廣，使用時(shí)間長。在很長的時(shí)期里，歐洲的商人和店員都喜歡使用象算盤那樣的計(jì)算板。在中國、日本和前蘇聯(lián)

55、，至今還有許多人使用著算盤。</p><p>　　中國和日本的算盤屬于同一個(gè)來源。它的特點(diǎn)是梁下以一珠當(dāng)一，梁上以一珠當(dāng)五。這是在以十進(jìn)位的基礎(chǔ)上，添了一個(gè)五進(jìn)位的中間單位。這樣不僅節(jié)省了算珠，而且增加了計(jì)算的速度。</p><p>　　大約在六千年前，美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個(gè)輪子。這是人類史上最偉大的發(fā)明之一！你想，即使是今天最現(xiàn)代化的機(jī)械，也幾乎沒有一樣能夠離得開輪子的。<

56、;/p><p>　　最初的輪子簡單得很。它是用木頭做成一個(gè)圓盤，中間挖一個(gè)洞，穿過一根木頭做軸，使圓盤能繞著軸轉(zhuǎn)動(dòng)。</p><p>　　到了巴比倫和亞述的時(shí)候，出現(xiàn)了打仗用的戰(zhàn)車和進(jìn)行貿(mào)易的車輛。車上的輪子已經(jīng)有了輻和轂等，和今天還能見到的老式車輪差不多。美索不達(dá)米亞人還發(fā)現(xiàn)圓木輪的其他用途。比如陶工利用旋輪制作精細(xì)的器皿，建筑工人利用滑輪吊起重物等。</p><p>

57、;　　由于輪子是美索不達(dá)米亞人發(fā)明的，很容易使人想象他們?cè)谀莻€(gè)時(shí)候一定掌握了不少關(guān)于圓的幾何學(xué)知識(shí)。實(shí)際上，他們甚至還不如埃及人。埃及人計(jì)算圓的周長時(shí)，是把圓的直徑乘以3.14；而美索不達(dá)米亞人在計(jì)算時(shí)用的是3。我們知道，圓周率π＝3.14159……，是一個(gè)不循環(huán)的無限的小數(shù)，叫做無理數(shù)，用3來代替它，就是用正六邊形的周長來代換圓的周長，是相當(dāng)粗糙的計(jì)算方法。</p><p>　　美索不達(dá)米亞人對(duì)圓的認(rèn)識(shí)雖然比埃

58、及人差，可是他們實(shí)際運(yùn)用幾何的能力，特別是在天文方面卻比埃及人先進(jìn)。他們把太陽在天上一晝夜經(jīng)過的軌道分成三百六十度。后來又把這種分法應(yīng)用于一切圓形物體。他們已經(jīng)會(huì)區(qū)分恒星和行星，給五個(gè)行星起了專門名稱，這就是金星、火星、木星、水星、土星。</p><p>　　在一部五千年前獻(xiàn)給巴比倫國王的占星學(xué)著作里，已經(jīng)列出了一個(gè)很長的蝕虧表，表中關(guān)于日食和月食的日期相當(dāng)準(zhǔn)確。</p><p>　　巴比

59、倫的空氣清朗，僧侶們每夜觀察天空的景象，并把他們的觀察結(jié)果記錄在土碑上。他們逐漸看出天文現(xiàn)象的周期性，覺察到某些天體的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的。有一個(gè)文件說，他們已經(jīng)能夠計(jì)算出太陽和月亮的相對(duì)位置，所以能夠預(yù)測日食和月食。</p><p>　　現(xiàn)在我們知道，地球自轉(zhuǎn)一周是一日；月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)一周為一月；地球帶著月球繞太陽公轉(zhuǎn)一周為一年。它們的運(yùn)動(dòng)都有各自的軌道。我們還知道，月球不會(huì)發(fā)光，月光是太陽光在月球表面上反射出來的。

60、當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)動(dòng)到太陽和月亮之間的聯(lián)線上時(shí)，太陽射到月球上的光線被地球遮住了，月球正好在地球投下的陰影里，月蝕就發(fā)生了。同樣的道理，如果月球運(yùn)動(dòng)到地球和太陽之間的聯(lián)線上，日蝕就發(fā)生了。美索不達(dá)米亞人能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)告日食和月食，說明他們很可能也懂得了我們上面說的道理。</p><p>　　美索不達(dá)米亞人看到月偏蝕的時(shí)候，月亮上的陰影總是帶著圓邊，于是就猜到了地球本身也是圓的。考古學(xué)家曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些巴比倫時(shí)代描繪的想象地

61、圖，形狀就跟我們今天用的硬幣差不多；還發(fā)現(xiàn)了這樣的地圖，巴比倫居中，并且占的面積很大。</p><p>　　腓尼基：航海、星辰和字母</p><p>　　古代稱為腓尼基的地方在地中海東岸、黎巴嫩山西側(cè)，也就是現(xiàn)在的敘利亞沿海的那部分。那里有十幾個(gè)沿海城市，每個(gè)城市都是附近地區(qū)的政治中心，也都是獨(dú)立的國家。腓尼基的文化和歷史可以追溯到公元前四千年。</p><p>　

62、　公元前一千五百年左右，腓尼基的海外貿(mào)易蓬勃發(fā)展，許多腓尼基人縱橫航行于地中海，往來各地進(jìn)行交易，很快便以勇敢的航海家和商人聞名于世。</p><p>　　在遠(yuǎn)航和貿(mào)易中，腓尼基人遇見了歐洲和大西洋沿岸文化落后的民族，也看到了文明的埃及人和美索不達(dá)米亞人。他們從一個(gè)地方到另一個(gè)地方，運(yùn)回了各式各樣值錢的貨物，也帶回了各地的科學(xué)文化知識(shí)。</p><p>　　有些知識(shí)在近海地方是盡人皆知、習(xí)

63、以為常的，而對(duì)長期住在內(nèi)陸的人來說會(huì)覺得十分費(fèi)解。比如巴比倫的農(nóng)民經(jīng)?？吹降氖窃埃哉J(rèn)為“地平如鏡”，當(dāng)他們聽到大地是圓球狀的時(shí)候，自然是一笑置之，不會(huì)接受。腓尼基人與海為鄰，在日常生活中就認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)。</p><p>　　航船進(jìn)港，人們?cè)陉懙厣鲜紫瓤吹降氖俏U的頂部，然后出現(xiàn)了風(fēng)帆，最后才是整個(gè)的船；而船上的人是先看到岸上山峰的峰頂，接著是低處的山坡和建筑物，最后才是港口的全貌。人們從這些現(xiàn)象里，自然會(huì)

64、得出結(jié)論：大地的表面是彎曲的!</p><p>　　腓尼基人長期在狹長的地中海中航行，一般總能看到陸地或者飛鳥，駕駛員只要能辨認(rèn)出這些陸地標(biāo)志就行了，用不著更多的航海知識(shí)。后來，雄心勃勃的腓尼基人穿過直布羅陀海峽，駛進(jìn)了大西洋。那里沒有熟悉的陸標(biāo)指引航向了，他們不得不自己記錄船只的航向和航程了。</p><p>　　沿著歐洲海岸南北航行，腓尼基人見到了一幅完全新的天空變化景象。一年里，不管

65、是哪一天，在北方港口看到中午的太陽總是比在南面港口看到的低一些，桅桿投下的影子也長一些。同一天里，中午的太陽影子在不同地方的長度不同，這就是航海者標(biāo)記港口位置的最早方法。夜晚向北航行時(shí)，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)北極星每晚都會(huì)升高一點(diǎn)；而當(dāng)他們沿非洲海岸向南航行時(shí)，北極星又會(huì)每晚向地平線下落一點(diǎn)。</p><p>　　很早以前，人們就發(fā)現(xiàn)了陽光、月光和星光是平行的直線。腓尼基人把這個(gè)古老的知識(shí)和太陽在不同緯度以不同的角度砌的現(xiàn)象

66、聯(lián)系起來，更加確認(rèn)大地是圓球狀的。陽光平行照射在地球表面上，如果大地真是“地平如鏡”的話，那么不管在什么地方，陽光的入射角應(yīng)該都一樣了。</p><p>　　他們?cè)诤叫兄羞€有一些發(fā)現(xiàn)，也加強(qiáng)了對(duì)地球的這個(gè)認(rèn)識(shí)。在家鄉(xiāng)時(shí)，一年三百六十五天，每一天中午的太陽影子總是指向北邊的。但是在非洲西海岸一定的地方(大約在北緯二十三度半的北回歸線)，夏至日中午的陽光卻在人們腦袋頂上直射下來，沒有影子。這一天要是再往南一點(diǎn)，影子就

67、指向南了。</p><p>　　一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，一只腓尼基船沿著非洲西海岸向南遠(yuǎn)航?？斓匠嗟罆r(shí)，船員發(fā)現(xiàn)北極星幾乎就落到地平線上了；再往南走，就完全看不見了。這時(shí)，夜幕上出現(xiàn)了許多在北方從沒見過的星星和星群。</p><p>　　腓尼基的航海家，用他們新的天文經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，開創(chuàng)了新的航?？茖W(xué)，促進(jìn)了幾何學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。在美索不達(dá)米亞文化的早期，人們就已經(jīng)知道把圓劃分成三百六十度；到了這時(shí)，人

68、們把跨越地球南北極的大圓(圓平面經(jīng)過地球的球心)，也用同樣的方法來劃分。</p><p>　　隨著時(shí)間的流駛，腓尼基人的海上地位逐漸衰落了，代之而起的是西西里、克里特、塞浦路斯和希臘。大約在公元前四百年，希臘地理學(xué)家畫的航海圖上已經(jīng)可以認(rèn)出地中海的海岸線來，希臘很快成了海上強(qiáng)國，但是它的先進(jìn)的文字卻是來源于腓尼基。腓尼基人最早使用字母文字，用數(shù)量不多的表示聲音的簡單符號(hào)，代替了大量的表示語言或意思的象形符號(hào)，非常

69、簡便，非常好學(xué)。公元前六百年，希臘人把腓尼基字母用于自己的語言?，F(xiàn)代歐洲各國的拼音文字差不多都來源于經(jīng)過改造的腓尼基字母。</p><p>　　希臘： 爭論、證明和創(chuàng)新</p><p>　　和埃及、美索不達(dá)米亞、印度、中國相比，希臘形成國家要晚一些。但是，從對(duì)人類科學(xué)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)和影響來看，希臘完全可以和這些最古老的國家比美，它被稱為歐洲的文明古國。</p><p&g

70、t;　　古代希臘包括巴爾干半島的南部，愛琴海和愛奧尼亞海的島嶼，還有克里特島和小亞細(xì)亞的沿岸地區(qū)。半島的東岸彎拐曲折，海灣很多，風(fēng)平浪微，有許多優(yōu)良的港口。</p><p>　　古希臘人非常喜歡旅行和出海貿(mào)易，這使他們很早就接觸了先進(jìn)的東方文化。那時(shí)候，奴隸擔(dān)負(fù)日常勞動(dòng)，奴隸主就有足夠的時(shí)間去評(píng)論市政、爭辯法律訴訟和海外新聞，以此作為時(shí)髦的消遣。于是，那些善辯的人經(jīng)常把一些人聚集在自己的周圍作為門徒。</p

71、><p>　　公元前五百多年，畢達(dá)哥拉斯建立了青年兄弟會(huì)，以秘密的形式向會(huì)員傳授數(shù)學(xué)知識(shí)。一個(gè)世紀(jì)后，雅典出現(xiàn)了學(xué)校，給青年講授法律、政治、演說和數(shù)學(xué)方面的知識(shí)。新式的學(xué)校里沒有了那種神秘的色彩，不論教師和學(xué)生，什么都可以寫出來給人看。這種公開研究，自由爭論，促進(jìn)了一種新的數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生。</p><p>　　很早以前，人們就知道了邊長為3、4、5和5、12、13的三角形為直角三角形。畢

72、達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這兩套數(shù)字的共同之處：最大數(shù)的平方等于另外兩個(gè)數(shù)的平方和，即3²＋4²=5²；5²＋12²=13²。這就是說，以直角三角形最長邊為邊長的正方形面積，等于兩個(gè)短邊為邊長的兩個(gè)正方形面積的和。</p><p>　　接著，畢達(dá)哥拉斯又研究了這樣兩個(gè)問題：一、這個(gè)規(guī)律是否對(duì)所有的直角三角形都成立？二、符合這一規(guī)律的任何三角形是否一定是直角三角形？&

73、lt;/p><p>　　畢達(dá)哥拉斯搜集了許許多多的例子，都肯定回答了這兩個(gè)問題。據(jù)說，他為了慶祝自己的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，曾殺了一百多頭牛，舉行了一次大宴會(huì)。這就是幾何學(xué)中的勾股定理為什么又叫做畢達(dá)哥拉斯定理的由來。</p><p>　　希臘的數(shù)學(xué)教師同時(shí)也講授法律。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也象學(xué)習(xí)法律那樣，對(duì)教師給出的每一條法則都提出自己的異議，并且要求教師對(duì)所有的概念都作出準(zhǔn)確的定義。這樣就使得教師面臨非常艱巨

74、的任務(wù)，尤其是下定義，可不是一件容易的事。比如，怎樣確切地定義一條直線？怎樣給出圓的定義？怎樣使別人不會(huì)把它們理解成別的圖形？……</p><p>　　不知經(jīng)過了多少次的爭論，人們才逐步意識(shí)到，最好的辦法就是直截了當(dāng)?shù)財(cái)⑹鲈鯓佑霉ぞ咦龀鰣D形的。要用工具畫圖，這又引出了一個(gè)問題：什么工具是大家都同意使用的呢？那時(shí)的希臘人畫幾何圖形規(guī)定只準(zhǔn)用畫線的直尺和畫圓的圓規(guī)。</p><p>　　在希臘

75、之前的漫長年代里，人們已經(jīng)知道了許多求面積和測角度的知識(shí)?？墒钦l也沒有想到過用推理的方法把這些知識(shí)聯(lián)系在一起，找出它們之間的內(nèi)在關(guān)系，并且證明它們是可靠的。這就是說，這時(shí)的幾何知識(shí)還處于零散的、互不聯(lián)系的狀態(tài)之中。沒有系統(tǒng)，就沒有幾何學(xué)。</p><p>　　好辯的希臘人，堅(jiān)持每一個(gè)幾何定律都必須通過辯論的驗(yàn)證，并且對(duì)各種相反的意見一一做出答復(fù)。這樣，在證明新的定律時(shí)，就可以直接引用已經(jīng)證明過的定律，而無需一切都

76、從頭開始。細(xì)心的希臘人對(duì)幾何知識(shí)從不輕信，他們破格相信的只是那些十分清楚的解釋和概念。他們從指導(dǎo)思想和具體方法兩個(gè)方面，推動(dòng)了幾何學(xué)的形成和發(fā)展。</p><p>　　大約在公元前三百年，歐幾里得寫了一套叫做《幾何原本》的數(shù)學(xué)教科書，把希臘人在這方面的成就傳給了我們。一千年后，許多希臘著作都散失和毀掉了，而《幾何原本》卻被譯成阿拉伯文，作為穆斯林大學(xué)的教本。直到五十年前，歐洲和美洲各國的學(xué)校還在用翻譯的《幾何原本

77、》作教科書。就是今天，初中學(xué)校里講授幾何學(xué)的主要內(nèi)容也是來自歐幾里得幾何學(xué)。</p><p>　　幾何學(xué)的建立為測量、建筑、航海、天文，甚至為城市規(guī)劃、樂器設(shè)計(jì)等提供了必要的工具。</p><p>　　在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，希臘人知道的幾何法則中有這么兩條：一、任何三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角；二、三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，它們的對(duì)應(yīng)邊也相等。由第一個(gè)法則可以得到：如果三角形中有一個(gè)角是直角，另

78、一個(gè)角是45°，那么第三個(gè)角也一定是45°；由第二個(gè)法則可以得到：對(duì)應(yīng)于兩個(gè)45°角的邊一定相等。他們根據(jù)這兩條法則，就可以利用陽光測量出地面上的物體高度了。</p><p>　　當(dāng)陽光成45°照射地面時(shí)，一根直立在地面上的柱子，連同它的影子和陽光，恰好組成這樣一個(gè)三角形，測量柱高就不用爬到柱子上去了。因?yàn)橹雍退挠白佣紝?duì)應(yīng)著45°的角，二者是等長的，只要量出影

79、長就行了。</p><p>　　當(dāng)然，這個(gè)原理在其它許多方面也用得著。例如，要在岸上測出海上的船只離岸多遠(yuǎn)，只要在岸上確定兩個(gè)點(diǎn)，使一個(gè)點(diǎn)與船的聯(lián)線和海岸成直角，另一個(gè)點(diǎn)與船的聯(lián)線與海岸成45°角，那么岸上兩點(diǎn)間的距離，就是船與海岸的距離。</p><p>　　這種方法，由于有45°角的要求，在實(shí)際測量中受到很大的限制。古埃及人在測量金字塔的高度時(shí)，使用了三角形的另一個(gè)

80、法則：任意兩個(gè)三角形，如果對(duì)應(yīng)角相等，那么各組對(duì)應(yīng)邊的邊長的比也相等。這樣，直立在地面上的木桿高度，與它正午影子的長度比，就和金字塔的高度，與它正午影長加上地基寬度一半的比相等。木桿的高度和影長，金字塔的影長和地基的寬度都可以直接量出來。所以，金字塔的高度根據(jù)比例關(guān)系就能算出來了。</p><p>　　掌握了對(duì)應(yīng)三角形的法則后，角度限制沒有了，一年四季里不管什么時(shí)候，都可以利用陽光來測量高度了。需要指出的是，古埃

81、及人雖然會(huì)使用這個(gè)法則，卻不會(huì)象希臘人那樣能嚴(yán)格地證明它。</p><p>　　公元前332年，古希臘的亞歷山大大帝征服了埃及，下令在那里建造了亞歷山大城。后來，這個(gè)城成了地中海的學(xué)術(shù)中心。</p><p>　　大約在公元前240年，亞歷山大城的教師伊拉托瑟尼算出了地球子午線的長度，這是幾何知識(shí)在歷史上的一次重大應(yīng)用。</p><p>　　伊拉托瑟尼從資料中得知阿斯

82、旺附近的西恩正好在北回歸線上。因?yàn)橄闹聊翘斓闹形?，在那里的深井里能看到太陽的倒影。這表明太陽正好在頭頂?shù)恼戏?，陽光垂直地面，直射向地球的中心。同是夏至這一天中午，他測量了亞歷山大城的一根柱子的影子，算出了陽光偏離垂直方向7.2°。因?yàn)殛柟馐瞧叫兄鄙涞孛娴?，所以入射角度的這種差異應(yīng)該是說明了地球表面的彎曲情況。</p><p>　　現(xiàn)在我們來看看伊拉托瑟尼是怎樣運(yùn)用幾何知識(shí)算出地球子午線的長度的。如圖，

83、畫兩條平行線：一條表示亞歷山大城的太陽光線；另一條表示西恩的太陽光線。畫亞歷山大城的垂直線—柱子，它切割當(dāng)?shù)氐墓饩€成7.2°；切割西恩的光線于地球中心。</p><p>　　根據(jù)平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等的知識(shí)，伊拉托瑟尼知道：亞歷山大城、地心、西恩間的角度也是7.2°；而7.2°正好是360°圓的1/50。</p><p>　　因?yàn)槲鞫髟趤啔v山大城的正南，

84、所以兩地間的道路大體上就在跨越南北極的大圓上。這樣，伊拉托瑟尼根據(jù)西恩到亞歷山大城是480英里，就算出了地球大圓的周長等于480英里的50倍，得到24000英里(相當(dāng)于38623公里)，這就是地球子午線的長度了。我們知道，現(xiàn)在測得的地球子午線的長度是40008.5公里，伊拉托瑟尼的誤差還不到4％。在麥哲倫首次環(huán)球航行前一千七百多年，就給出了如此精確的近似值，這確實(shí)是驚人的成績！</p><p>　　和伊拉托瑟尼大

85、體同時(shí)的阿基米得是那個(gè)時(shí)代最卓越的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機(jī)械發(fā)明家。他制造了石弩和弩炮來打擊敵人，保衛(wèi)自己的國家。他做出了緊貼圓筒內(nèi)壁的旋轉(zhuǎn)器來抽水，解決了農(nóng)田灌溉和船艙排水的困難。著名的浮力原理，也是他在判斷皇冠是純金還是金銀混合物時(shí)發(fā)現(xiàn)的。今天我們用來測量液體密度的比重計(jì)，就是依據(jù)這個(gè)原理做成的。</p><p>　　阿基米得在數(shù)學(xué)上有許多貢獻(xiàn)。他運(yùn)用圓內(nèi)接和外切正四十八邊形周長的平均數(shù)，相當(dāng)精確地算出了圓周率的

86、值是22/7。直到今天，這個(gè)數(shù)值足夠一般工程技術(shù)采用。他研究過曲線的特性，象熏蚊子的盤香那樣的曲線，我們今天就把它叫做阿基米得螺線。他還發(fā)現(xiàn)了許多求體積的方法。其中兩種球和圓柱體的求積方法，就刻在他的墓碑上。</p><p>　　比阿基米得晚五十年的希帕卡斯，匯集了希臘幾何學(xué)的成就，編制了我們現(xiàn)在說的正弦表，這對(duì)測量和天文學(xué)極為有用。</p><p>　　我們知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩

87、直角。如果三角形中有一個(gè)角為直角，一個(gè)為已知角A，那第三個(gè)角B就等于直角與角A的差。角A的對(duì)邊與斜邊的比，稱為角A的正弦。這個(gè)比，對(duì)于包括同樣角度A的所有直角三角形來說都是一樣的。當(dāng)A為60°、45°、30°時(shí)，由勾股定理就可以確定出正弦值。希帕卡斯發(fā)現(xiàn)了另外的定理，可以算出其它許多角度的正弦值來，給天文和測量人員提供了很寬的角度范圍。</p><p>　　以亞歷山大城為科學(xué)文化中心

88、長達(dá)七百年之久，這是一個(gè)繁榮科學(xué)技術(shù)的時(shí)代。城市大規(guī)模的建筑，頻繁的海上貿(mào)易，海陸大國之間連綿不斷的戰(zhàn)爭，促進(jìn)了測量和制圖、航海和天文、采礦和力學(xué)的研究。希臘在數(shù)學(xué)方面的巨大成就，是不斷取得科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的必不可少的條件。</p><p>　　英語中的“算術(shù)”一詞來源于希臘語。但是希臘語的“算術(shù)”并不是今天的數(shù)字計(jì)算的意思，而很可能是指“數(shù)字游戲”。</p><p>　　那時(shí)候最著名的是所謂

89、三角數(shù)字1、3、6、10等等。它們是按1、1＋2、1＋2＋3、1＋2＋3＋4等等組成的。畢達(dá)哥拉斯青年兄弟會(huì)發(fā)誓保守秘密之一，就是如何說出這組數(shù)中的任意一個(gè)是多少。</p><p>　　其實(shí)，要說出其中任一數(shù)是多少的辦法很簡單。比如要求第五個(gè)數(shù)，就用(5＋1)去乘5，然后被2除，結(jié)果得15；要求第二十個(gè)數(shù)，就用(20＋1)去乘20，然后被2除，結(jié)果得210。</p><p>　　石子游戲可

90、能是使希臘人找到求連續(xù)奇數(shù)和的方法的起源。從1開始，連續(xù)10個(gè)奇數(shù)的和是10×10＝100；要是增加到20個(gè)奇數(shù)，那和為20×20＝400。</p><p>　　另一種數(shù)字游戲可以用芝諾的一個(gè)著名詭辯來代表。芝諾是一個(gè)很有才能的數(shù)學(xué)家。他問道：阿溪里斯是古希臘傳說中善跑的神，要是讓他和烏龜賽跑，并假定他的速度為烏龜?shù)?0倍。烏龜先出發(fā)了100米。然后，阿溪里斯開始追趕烏龜。當(dāng)阿溪里斯跑完這10

91、0米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前走了10米；當(dāng)阿溪里斯跑完這10米時(shí)，烏龜又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快，走過一段距離總得有一段時(shí)間，而在這段時(shí)間里，烏龜速度再慢，也總要走出一段距離來。這樣說起來，阿溪里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜了。</p><p>　　人們從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中知道，結(jié)果肯定不會(huì)是這樣的。阿溪里斯一定會(huì)超過烏龜?shù)?，但是在很長的時(shí)間里，人們不知道問題出在了哪里，當(dāng)然也就不知道怎樣才能駁倒芝諾的詭辯了。</p&

92、gt;<p>　　今天，我們都可以算出芝諾這個(gè)詭辯站不住腳。烏龜盡管可以100米、10米、1米、0.1米、0.01米……趕在阿溪里斯的前面；但是，這總是在離開起點(diǎn)1/9公里之內(nèi)，不會(huì)超過這個(gè)范圍。所以，阿溪里斯在離開起點(diǎn)1/9公里的地方，就超過了烏龜。在這里，“永遠(yuǎn)”并沒有迷住我們的眼睛。越來越小的許多分?jǐn)?shù)相加，不管小到何等程度，它們的總和有一個(gè)具體限度，在數(shù)學(xué)上就叫做極限。在這里，1/9公里是烏龜在前的極限，所以阿溪里斯

93、一定能超過它。</p><p>　　字母的使用，曾經(jīng)使希臘人大大簡化了文字。他們也希望在數(shù)字計(jì)算中，能得到同樣的便利。最初，希臘人用表示一個(gè)數(shù)的字頭來代表數(shù)，這就是用Δ表示10，H代表100，X表示1000，就好像英語中用T代表Ten，H代表Hundred一樣。數(shù)字再大，就按需要重復(fù)這些符號(hào)就行了。這種數(shù)的寫法和埃及的非常象。你看這兩種寫法，寫同一個(gè)數(shù)3420的樣子如右圖：</p><p>

94、;　　到公元五世紀(jì)，希臘人采用了一種完全不同的記數(shù)方法。他們以頭九個(gè)字母表示1到9；接著的九個(gè)字母表示10到90；最后的九個(gè)字母表示100到900；在任何數(shù)的前面劃一道，表示這個(gè)數(shù)是原數(shù)的一千倍。這個(gè)新的數(shù)字系統(tǒng)需要27個(gè)字母，但是希臘的字母只有24個(gè)，所以增加了三個(gè)古老的和外來的字母。</p><p>　　采用這種記數(shù)方法，唯一的好處是一些大數(shù)字簡短好寫，不占篇幅；嚴(yán)重的毛病是計(jì)算困難，使用很不方便。今天，我們

95、在數(shù)學(xué)中是把字母作為一種簡寫符號(hào)使用的。比如bh/2表示三角形的面積等于底乘高被2除。這種簡潔的表示方法對(duì)于把字母固定成數(shù)的希臘人來說是根本不能使用的。</p><p>　　后來，羅馬人打敗了希臘人，成為地中海地區(qū)的霸主。他們?cè)谙ＥD人的基礎(chǔ)上，建立了自己的記數(shù)方法。大約兩千年前，羅馬軍隊(duì)征服了歐洲南部、高盧、英國大部分、非洲北部邊緣和西亞的大片地區(qū)。希臘語作為學(xué)習(xí)的語言被保留下來。</p><

96、p>　　公元四世紀(jì)，羅馬帝國分為東西兩個(gè)部分。東羅馬部分繼承了希臘文明，保存了希臘的學(xué)術(shù)語言和傳統(tǒng)；而西羅馬就很快丟掉了希臘的語言和科學(xué)，長期處于落后保守之中，停步不前。</p><p>　　西方在數(shù)學(xué)、科學(xué)等各個(gè)方面需要學(xué)習(xí)和援助。這些援助來自東方的阿拉伯、印度和中國。</p><p>　　中國：籌算、觀天和算法</p><p>　　我國是世界上最早的文明國

97、家之一。很早以前，我們的祖先在漁獵農(nóng)事活動(dòng)中就接觸到了計(jì)算和測量，并在這方面積累了大量的知識(shí)。</p><p>　　萬里長城和大運(yùn)河是我國古代文明的偉大成就。戰(zhàn)國時(shí)期戰(zhàn)爭連綿，燕、趙、秦三國為了抵御來自北方的侵?jǐn)_，建筑了長城；秦始皇統(tǒng)一全國，把它們連接起來。后來，漢朝和明朝都大規(guī)模修筑過長城。長城由西至東，在險(xiǎn)峻起伏的山嶺上綿延數(shù)千公里，是世界上僅有的巨大土石建筑。溝通南北的大運(yùn)河，長達(dá)一千七百多公里，樸實(shí)壯觀，

98、是非常杰出的水利工程。我國人民在長城和運(yùn)河的建造過程中積累了大量的幾何測量、數(shù)字計(jì)算和土木工程方面的知識(shí)。</p><p>　　我國古代的計(jì)算不是用記數(shù)文字直接進(jìn)行，而是用算籌，很有特色。在開始的時(shí)候，人們是用一些小樹枝來計(jì)數(shù)，一根小樹枝代表一頭牲畜、一堆谷物或者一件農(nóng)具。后來，逐漸形成了一套計(jì)算方法，小樹枝也慢慢變成了竹制、鐵制、牙制的小棍，外形規(guī)格齊整，這就是算籌。</p><p>　

99、　籌算可以進(jìn)行整數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除、開方等各種運(yùn)算。直到元、明以前，籌算一直是我國的主要計(jì)算方法。</p><p>　　籌算的記數(shù)法既是十進(jìn)，又按位值分別表示不同單位，和現(xiàn)代記數(shù)法相似。著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，大約編于公元四、五十年間的東漢初期。這部書是采用問題集的形式編的，共有二百四十六個(gè)問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。</p><p>　

100、　方田章講的是各種分?jǐn)?shù)計(jì)算和方田、梯形田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)形田等的面積計(jì)算；粟米章講的是糧食交易的簡單比例計(jì)算；衰分章講的是一些按比例分配的問題；少廣章講的是由已知面積和體積，反求邊的長短和面的寬廣的問題，其中總結(jié)出了開平方和開立方的方法；商功章講的是計(jì)算各種體積的方法，主要解決筑城、建堤、挖溝、修渠等實(shí)際工程問題；均輸章講的是糧食運(yùn)輸均勻負(fù)擔(dān)的計(jì)算方法；盈不足章講的是盈虧計(jì)算法和它的應(yīng)用；方程章講的是正負(fù)數(shù)算法，還有

101、各種三元一次和四元一次聯(lián)立方程的解法。勾股章敘述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的問題。</p><p>　　《九章算術(shù)》的內(nèi)容豐富多彩，包括了許多算術(shù)、幾何、代數(shù)和三角的知識(shí)，是一部非常杰出的數(shù)學(xué)專著，它對(duì)我國數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。</p><p>　　《九章算術(shù)》不只在中國數(shù)學(xué)史上占有十分重要的地位，而且影響遠(yuǎn)及國外。朝鮮和日本都曾經(jīng)用它作為教科書。歐洲在中世紀(jì)

102、的一些算法，比如分?jǐn)?shù)和比例就很可能是從中國傳入印度、再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲的。在阿拉伯和歐洲的早期數(shù)學(xué)著作中，把“盈不足”稱為“中國算法”就是一個(gè)證明。現(xiàn)在，《九章算術(shù)》已作為世界科學(xué)名著，被譯成許多種文字出版。</p><p>　　《周牌算經(jīng)》是我國另一部有名的天文學(xué)、數(shù)學(xué)著作，大約時(shí)在公元前一百年前后的西漢年間成書。書里明確給出了勾股定理的一般形式，即勾²＋股²＝弦²。</p&

103、gt;<p>　　書中介紹了在兩地利用標(biāo)桿測出日影、再進(jìn)一步利用勾股定理，算出太陽高度的方法，即書中還談到了用一根直徑一寸、長八只的中空竹管觀測太陽，太陽的圓影正好與竹管的視線吻合，再進(jìn)一步利用勾股定理推算出太陽的直徑來。這說明我們的祖先至少在西漢年間，就能正確地應(yīng)用直角三角形的勾股定理了。</p><p>　　等到三國時(shí)代，吳國人趙爽用幾何方法對(duì)勾股定理進(jìn)行了相當(dāng)嚴(yán)格的論證。公元前五百年，春秋戰(zhàn)國

104、時(shí)代的學(xué)者已經(jīng)有了相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。莊子《天下篇》中有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的記載。意思是一根一只長的木棍，每天截掉一半，千年萬載也截不完。直到今天，人們還常把“日取其半”作為了解“極限”思想的典型例子。</p><p>　　大約在四千五百到三千五百年前的這段時(shí)期里，我國發(fā)明了第一輛車子。另外，從我國出土的許多殷代以前的陶器上也能看到不少圓形圖案。這說明很早以前，我們的祖先就認(rèn)識(shí)圓了。</p&g