數(shù)學(xué)史-第08講-微積分發(fā)展史

1、微 積 分 發(fā) 展 簡 史,微積分的萌芽,微積分的醞釀,微積分的創(chuàng)立,微積分的發(fā)展與完善,微積分的偉大意義,微積分學(xué)是微分學(xué)(Differential Calculs)和積分學(xué)(Integral Calculs)統(tǒng)稱,英文簡稱Calculs,意為計算。這是因為早期微積分主要用于天文、力學(xué)、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學(xué)稱為分析學(xué)或無窮小分析。微積分中的基本概念主要是函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等，其中極限是微積分的基石。,微分學(xué)

2、的主要內(nèi)容包括：導(dǎo)數(shù)、微分。,積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分。,一． 微積分思想萌芽,微積分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏用樸素的極限思想，即無窮小過程計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。 在中國，公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國時期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，是我國較早出現(xiàn)的極限思想。,把極限思想運用于實踐

3、，即利用極限思想解決實際問題的典范卻是魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽。他的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積 ，接著是正十二邊形面積 ，然后依次加倍邊數(shù)，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。用他的話說，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”按照這種思想，他從圓的內(nèi)接正六邊形面積一直算到內(nèi)接正192邊形面積，得到圓周率 的近似值3.14。,南北朝時期的

4、著名科學(xué)家祖沖之（公元429-500年）祖 恒父子推進(jìn)和發(fā)展了劉徽的數(shù)學(xué)思想，首先算出了圓周率 介于3.1415926與3.1415927之間，這是我國古代最偉大的成就之一。其次明確提出了下面的原理：“冪勢既同，則積不容異?！蔽覀兎Q之為“祖氏原理”，即西方所謂的“卡瓦列利原理”。并應(yīng)用該原理成功地解決了劉徽未能解決的球體積問題。,歐洲古希臘時期也有極限思想，并用極限方法解決了許多實際問題。較為重要的當(dāng)數(shù)安提芬(Ant

5、iphon,B.C420年左右)的“窮竭法”。他在研究化圓為方問題時，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積窮竭圓面積，從而求出圓面積。但他的方法并沒有被數(shù)學(xué)家們所接受。后來，安提芬的窮竭法在歐多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到補(bǔ)充和完善。之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實質(zhì)上是一種原始的積分法。他將需要求

6、積的量分成許多微小單元，再利用另一組容易計算總和的微小單元來進(jìn)行比較。但他的兩組微小單元的比較是借助于力學(xué)上的杠桿平衡原理來實現(xiàn)的。平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形。,與積分學(xué)相比，微分學(xué)研究的例子相對少多了。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。阿基米德、阿波羅尼奧斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作過嘗試，但他們都是基于靜

7、態(tài)的觀點。古代與中世紀(jì)的中國學(xué)者在天文歷法研究中也曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，但多以慣用的數(shù)值手段（即有限差分計算）來處理，從而回避了連續(xù)變化率。,二、微積分的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個世紀(jì)。 為了理解這一醞釀的背景，我們首先來賂微回顧一下這一時期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成

8、的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動了光學(xué)的研究。,1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是： 1。行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點； 2。由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等； 3。行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。 開普勒主要是通過觀測歸納

9、出這三條定律，從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗定律，成為當(dāng)時自然科學(xué)的中心課題之一。,1638年，伽利略的《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。 凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本

10、主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點。,微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀(jì)的一系列主要的科學(xué)問題。有四種主要類型的科學(xué)問題：第一類是，已知物體的移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度使瞬時變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；第二類是，望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計使得求曲線的切線問題變得不可回避；第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行

11、星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也急待解決；第四類問題是求行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力等，又使面積、體積、曲線長、重心和引力等微積分基本問題的計算被重新研究。,在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當(dāng)短的時期內(nèi)，取得了迅速的進(jìn)展。 代表性的工作有： 1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積；

12、 開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他認(rèn)為球的體積是天數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。,2、卡瓦列里不可分量原理 他在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認(rèn)為線是由無限多個點組成；面是由無

13、限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。 卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價于下列積分式子：,3、笛卡兒的“圓法” 笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。

14、 笛卡兒圓法在確定重根時會導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進(jìn)行的計算。,4、費馬求極大值和極小值方法 按費馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點a處取極值，費弓用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：

15、 f(a+e)～f(a) 這里所提到的“e”就是后來微積分學(xué)當(dāng)中的“ ”,,5、巴羅的“微分三角形” 巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國皇家學(xué)會的首批會員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當(dāng)時才27歲的牛頓來擔(dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。,6、沃利斯的“無窮算術(shù)”

16、 沃利斯另“一項重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到 的無窮乘積表達(dá)式。并有以下猜想：,1.牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利賂、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。 166

17、5年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的。,三、微積分的創(chuàng)立,1、流數(shù)術(shù)的初建 牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終

18、趨于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡論》著稱，《流數(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。,2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展 《流數(shù)簡論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟

19、的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚。他在這一年10月當(dāng)選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠(yuǎn)鏡制作方面的員獻(xiàn)。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是： (1)1669年的《運用無限多項方程的分析》 ； (2) 1671年的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》； (3) 169

20、1年的《曲線求積術(shù)》。,牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。 《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅持對微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。

21、,《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。 《原理》中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證

22、明”。事實上，1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過。,2.萊布尼茨的微積分,在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽(yù)。 萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思。1667年獲阿爾持多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年[16

23、72—1676)，這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)。,萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學(xué)的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題． 與牛頓流數(shù)論的運動學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角

24、形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，刊登在《教師學(xué)報》上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設(shè)橫坐標(biāo)x的微分dx是任意的量，

25、縱坐標(biāo)y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標(biāo)與次切距之比的那個量。 《新方法》中明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式：,1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)淪文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。 萊布尼茨分析道：‘‘研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的

26、更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大部分．”,3.優(yōu)先權(quán)之爭,微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件，在18世紀(jì)的歐洲，曾有一場關(guān)于建立微積分優(yōu)先權(quán)問題的爭論?！皟?yōu)先權(quán)”之爭是由局外人搬弄是非引發(fā)的。1699年一位瑞士數(shù)學(xué)家N.F.德丟勒在一本小冊子中提出“牛頓是微積分的第一發(fā)明人”，萊布尼茲則是“第二發(fā)明人”，“曾從牛頓那里有所借鑒”，尤其后面這句話，使得德國人十分不滿.1712

27、年，英國皇家學(xué)會還專門成立一個“調(diào)查委員會”，并于第二年公布了一份《通報》，宣布“確認(rèn)牛頓為第一發(fā)明人。”這種事態(tài)引起了萊布尼茲的申訴，雙方爭論越演越烈，指責(zé)對方的話說得十分難聽。這實在是“科學(xué)史上最不幸的一頁”，使得18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚鑣，英國數(shù)學(xué)堅持牛頓原始創(chuàng)新的那種傳統(tǒng)不肯改進(jìn)，遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)分析逐漸完善的主流，分析數(shù)學(xué)的主流與中心移到了德國與法國，不必要的“優(yōu)先權(quán)”之爭使英國數(shù)學(xué)受到了損失。,就微積分而言，牛頓在

28、1687年以前并未公開發(fā)表任何有關(guān)微積分的文章，而萊布尼茲則于1684年和1686年分別先于牛頓發(fā)表了關(guān)于微分與積分的兩篇重要文章，可見文章的發(fā)表萊布尼茲先于牛頓，但牛頓對微積分的發(fā)現(xiàn)確實領(lǐng)先于萊布尼茲，而且萊布尼茲對牛頓有很高的評價。1701年在柏林王宮的宴會上，當(dāng)普魯士王問萊布尼茲如何評價牛頓時，萊布尼茲答：“綜觀有史以來的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作?！迸ｎD對萊布尼茲也有公正的評價，牛頓在《原理》的前言中稱：“十年前，我在給學(xué)問

29、淵博的數(shù)學(xué)家萊布尼茲的信中曾指出：我發(fā)現(xiàn)了一種新方法，可以用來求極大值、極小值、作切線以及解決其他類似的問題，而且這種方法也適用于無理數(shù)。這位名人回信說他也發(fā)現(xiàn)了類似的方法，并把他的方法給我看了。他的方法與我的大同小異，除了用語、符號、算式和量的產(chǎn)生方式外，沒有實質(zhì)性區(qū)別?？梢娕ｎD也承認(rèn)萊布尼茲與他同時發(fā)現(xiàn)了微積分。,兩人工作的不同點：（1）在建立微分學(xué)的出發(fā)點上，牛頓主要從力學(xué)出發(fā)，以速度為模型，而萊布尼茲則主要從幾何出發(fā)，從作曲線

30、在一點的切線開始建立了微分學(xué)。（2）在積分學(xué)問題上，牛頓偏重于求微分的反運算，即今天的不定積分概念；而萊布尼茲則側(cè)重于把積分了解為求微分的“和”，實際上他把這種算法叫“求和計算”，也就是今天的定積分概念。（3）對無窮小的理解也不盡相同。牛頓的無窮小不分階數(shù)，而萊布尼茲試圖定義高階微分，并對其間的關(guān)系作過生動的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可見，萊布尼茲的微分有許多層次，在這一點上比牛頓深刻。（4）二人采用的符號不同。比如牛頓用

31、“點”，而萊布尼茲用“d”等，并由于他精心設(shè)計，反復(fù)改進(jìn)，系統(tǒng)地提出了至今仍沿用的符號，這對微積分的發(fā)展起到了積極作用。,（5）他們二人的學(xué)風(fēng)也不盡相同。作為科學(xué)家的牛頓學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，小心謹(jǐn)慎，重視實際。作為哲學(xué)家的萊布尼茲則比較大膽，富于想象，勇于推廣，因為他不贊成因過分的細(xì)密而阻礙了最好的創(chuàng)造。 　牛頓的支持者有著名數(shù)學(xué)家泰勒和馬克勞林，萊布尼茲的維護(hù)者則是著名數(shù)學(xué)家貝努利兄弟，這場爭論把歐洲科學(xué)家分成勢不兩立的兩派－英國

32、派和大陸派，并因此使雙方停止了學(xué)術(shù)交流。由于牛頓的代表著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中主要使用的幾何方法，所以在牛頓去逝后的100多年中，英國人繼續(xù)以幾何為主要工具，沿用牛頓的落后記號，以致使英國數(shù)學(xué)開始落后于大陸。,四、微積分的發(fā)展與完善,1．函數(shù)概念的發(fā)展　　　解析幾何出現(xiàn)以后，有了變量，這為函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展提供了條件，而自然科學(xué)的發(fā)展需要人們研究函數(shù)。微積分產(chǎn)生之后，函數(shù)的研究就成為必然，初等函數(shù)已經(jīng)被充分認(rèn)識。牛頓用“流量”一

33、詞表示變量之間的關(guān)系，萊布尼茲用“函數(shù)”一詞表示任何一個隨曲線上的點的變動而變動的量。1734年，歐拉使用記號表示函數(shù)。這個時期的函數(shù)概念，是由解析表達(dá)式（有限或無限的）所給出，是運算的組合，函數(shù)要與曲線聯(lián)系起來。,1807年，傅里葉由于研究熱的傳導(dǎo)問題，發(fā)現(xiàn)了不能用單個（有限的）解析式表達(dá)的函數(shù)，如，　　　　　　他的這一發(fā)現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展的一個轉(zhuǎn)折點。雖然歐拉等人也有類似傅里葉的思想，但只是在傅里葉對熱傳導(dǎo)深入研究引起人們注意時，

34、他關(guān)于函數(shù)的這個發(fā)現(xiàn)才對人們有所震動。,,1821年，柯西在他關(guān)于分析學(xué)的著作中給出函數(shù)一個新的定義：若干個有聯(lián)系的變量之間，當(dāng)給定了其中一個變量的值，就可以決定所有其它變量的值。該定義基本上擺脫了“解析表達(dá)式”的要求，側(cè)重于關(guān)于變量間關(guān)系的認(rèn)識，但仍未揭示出變量之間的對應(yīng)關(guān)系這一函數(shù)概念的本質(zhì)。更進(jìn)一步的定義是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年給出的：如果對于給定區(qū)間的每一個的值，有唯一的一個的值與之對應(yīng)，那么就是的一個函數(shù)。他還舉出一個

35、著名函數(shù)的例子，以說明函數(shù)概念的一般性，這就是“狄利克雷函數(shù)”：當(dāng)是有理數(shù)時，取值1；當(dāng)是無理數(shù)時，取值0。這個函數(shù)是不可能寫出任何解析表達(dá)式來的。,2．函數(shù)的極限　　　極限的思想自古以來就有，但直到柯西時，才使它有了一個明確的定義。他在1821年的《代數(shù)分析教程》中這樣說的：當(dāng)一個變量逐次所取得的值無限趨向一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多么小就有多小，則該定值就叫做這些值的極限?！　　】挛鞯亩x與前人不同的是，他擺脫了幾何

36、圖形及幾何量的任何牽連，只用了“變量”的“數(shù)”或函數(shù)，沒有幾何或力學(xué)的直觀。在此基礎(chǔ)上，柯西很自然的定義了“無窮小量”及“無窮大量”，他把無窮小量看成是以0為極限的變量，這就澄清了對無窮小量“似零非零”的模糊認(rèn)識，把它從物理的、幾何的原形中抽象成為一個純數(shù)學(xué)概念。,由柯西建立起來的這個分析體系，極限是最基本的概念，使用它給出了微分、積分、收斂、連續(xù)等幾乎所有的概念。但是，柯西的定義中這樣一些描述性的詞語，如：“無限接近”、“要多小就多小

37、”等，其數(shù)學(xué)意義是不確切的，還留有物理過程的直觀痕跡，沒有達(dá)到算術(shù)化程度，因此這樣的極限論還是初步的、不精確的。1850年左右，魏爾斯特拉斯為排除極限概念中的幾何直觀性，提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義，用他發(fā)明的所謂語言來表達(dá)極限概念，也就是我們現(xiàn)今使用的定義，它與柯西的定義不同的是：,①其中沒有任何或明或暗地含有幾何、運動的含義，完全算術(shù)化了。②沒有“變量”、“變化”、“趨向”等動態(tài)的詞，是一個靜態(tài)的定義，它說明極限的本質(zhì)是“靜態(tài)”的。

38、③柯西定義中“要多小有多少”這種詞是一種定性的描述，現(xiàn)在量化了。④沒有涉及“無窮小量”，從而可以徹底地在微積分中排除“無窮小”概念。,3．關(guān)于導(dǎo)數(shù)　　　1817年和1823年，波爾察諾與柯西分別定義了導(dǎo)數(shù)，都是按照函數(shù)增量與自變量增量之比的極限來定義的。與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的嚴(yán)密化問題，有下面幾點：①柯西給出導(dǎo)數(shù)定義后，又把 定義為任一有限量，而把 定義為 ，從而導(dǎo)數(shù)概念與萊布尼茲的微分統(tǒng)

39、一起來，并可以通過導(dǎo)數(shù)定義微分。②1797年，拉格朗日給出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西給出了中值定理的證明，并且用它闡明了 與 之間的關(guān)系。,,,,③可微性與連續(xù)性的關(guān)系花了幾十年時間才被人們弄清楚?？挛髡J(rèn)為，連續(xù)函數(shù)一定是可微的。雖然波爾察諾在1834年就已經(jīng)知道連續(xù)性與可微性有區(qū)別，并且構(gòu)造出連續(xù)但在任何點都沒有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)來，但是他沒有發(fā)表。1854年，黎曼給出處處連續(xù)但在很多點

40、沒有導(dǎo)數(shù)的例子，這也沒有引起人們的注意。連續(xù)性與可微性之間驚人的區(qū)別，是由瑞士人塞萊里埃指出的，1860年他給出處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)（a是正整數(shù)），此后魏爾斯特拉斯也給出這樣的例子，連續(xù)性不蘊(yùn)含可微性的發(fā)現(xiàn)有重大意義，它使人們更加不敢依賴直觀和幾何的思考方式了。,,4．積分學(xué)的嚴(yán)密化過程 牛頓的積分本質(zhì)上是微分法的逆運算，也可以說是“不定積分”；萊布尼茲把面積看成矩形微元的和，實際上是定積分。他們的這種模

41、糊不清的概念和關(guān)系延續(xù)了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。 1823年，柯西對定積分做了開創(chuàng)性的工作，即他對連續(xù)函數(shù)下了定積分的定義，并對積分的理論進(jìn)行了下列建設(shè)性的工作。①他證明連續(xù)函數(shù)的積分必存在，并強(qiáng)調(diào)在使用積分前先解決這個問題，這說明他對存在性是很重視的。由于沒有一致連續(xù)性的概念，他的證明是有缺陷的。,②證明了微積分基本定理。③證明了全體原函數(shù)彼此之間僅相關(guān)一個常數(shù)，且定義了不定積分為變上限的定積分，由

42、此開始，人們把不定積分與原函數(shù)區(qū)分開了。④定義了無窮區(qū)間上的積分及無界函數(shù)的積分。⑤用極限定義了區(qū)域的面積、曲線的長、立體的體積等概念。 1854年，黎曼從考慮傅里葉級數(shù)和積分公式出發(fā)，認(rèn)為被積函數(shù)的條件應(yīng)該放寬，因此他把積分定義推廣到有界函數(shù)上，不再要求連續(xù)性，即所謂黎曼積分.1875年，達(dá)布引入了“達(dá)布和”，給出了可積性充要條件。至此，黎曼積分的理論基本上得到了完善。,5．無窮級數(shù) 微積

43、分的發(fā)展與無窮級數(shù)的研究密不可分。牛頓在他的的流數(shù)論中自由運用無窮級數(shù)，他憑借二項式定理得到了　和　等許多函數(shù)的級數(shù)。泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的一般方法。在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。數(shù)學(xué)家在早期運用無窮級數(shù)時，沒有對收斂和發(fā)散問題引起足夠重視。到了18世紀(jì)末，由于應(yīng)用無窮級數(shù)得到了一些可疑的有時甚至是完全荒謬的結(jié)果。,,,如無窮級數(shù)到底等于什么？當(dāng)時

44、人們認(rèn)為一方面另一方面，那么豈非　??？這種矛盾曾使傅里葉這樣的大數(shù)學(xué)家也困惑不解，甚至于讓歐拉也在此犯下了可笑的錯誤。他在得到　　　　　　　　　　　　后，再令　　　時，得出　　　　　　　　　。由此可見當(dāng)時數(shù)學(xué)界中的混亂局面。當(dāng)時幾乎無人過問分析中一些比較細(xì)致的問題，如級數(shù)、積分的收斂性等，顯然，無窮級數(shù)運算的合法性亟待有人來研究。,,,,,,,,1811年，傅里葉首先給出了級數(shù)收斂的嚴(yán)格定義，而第一個對無窮級數(shù)的收斂性質(zhì)作出研

45、究的是數(shù)學(xué)大師高斯。1812年，他在《無窮級數(shù)的一般研究》的著作中研究超幾何級數(shù)　時，把級數(shù)的使用限制在它的收斂范圍內(nèi)，同時，他引入了高斯級數(shù)的概念，除了證明這些級數(shù)的性質(zhì)外，還通過對它斂散性的討論開創(chuàng)了關(guān)于級數(shù)斂散性的研究。1821年，柯西在《分析教程》一書中給出了著名的柯西準(zhǔn)則以及比值判別法和根式判別法。他在1853年認(rèn)識到，要使得連續(xù)函數(shù)的級數(shù)的和一定連續(xù)，必須有一致收斂的條件，但他仍然沒有看出在使用級數(shù)的逐項積分時也要求一致收

46、斂。,,是魏爾斯特拉斯引入了一直被忽視的一致收斂的概念，從而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂現(xiàn)象。他利用一致收斂的概念給出了逐項積分和在積分號下求微分的條件。由于他對一致收斂的研究使得微積分日趨嚴(yán)密，他也因此成為分析嚴(yán)格化的最大貢獻(xiàn)者，并被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”。調(diào)和級數(shù)的討論引引起了對發(fā)散級數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級數(shù)而獲得一些著名的數(shù)值逼近公式。18世紀(jì)通過研究發(fā)散級數(shù)獲得的一個重要常數(shù)“歐拉常數(shù)”　，,,

47、是歐拉討論如何利用對數(shù)函數(shù)來逼近調(diào)和級數(shù)時得到的，它最簡單的表示形式為：　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　歐拉曾計算出 的近似值為0.577 218，但迄今我們還不能判定究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)。,,,五、微積分發(fā)現(xiàn)的偉大意義,1．自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學(xué)的時代，因而數(shù)學(xué)開始描述變化，描述運動。微積分改變了整個數(shù)學(xué)世界的面貌。牛頓、萊布尼茲17世紀(jì)創(chuàng)立的微積分還存在著明顯的邏輯缺陷，但是這種缺陷并未抑

48、制它旺盛的生命力。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們在微積分提供的思維和工具的基礎(chǔ)上闊步前進(jìn)，迅速創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)分支，諸如微分方程，無窮級數(shù)，變分法等。在進(jìn)入19世紀(jì)之后，還有諸多與微積分直接相關(guān)的數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生，原有的一些數(shù)學(xué)分支也開始利用微積分的方法，前者包括復(fù)變函數(shù)，微分幾何等，后者包括數(shù)論，概率論等。可以說，在有了微積分之后的兩、三百年時間，數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，獲得了空前的繁榮。微積分的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)也在19世紀(jì)完善地建立起來。微積分基本定理的表

49、現(xiàn)形式在多維空間和一般拓?fù)淇臻g中也獲得了拓廣，在更廣闊的領(lǐng)域中延伸，進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的普遍意義。,2．對其他自然科學(xué)和工程技術(shù)的作用　　　有了微積分，整個力學(xué)、物理學(xué)都得以它為工具加以改造，微積分成了物理學(xué)的基本語言，而且，許多物理學(xué)問題要依靠微積分來尋求解答?！皵?shù)理不分家”，這句話在有了微積分之后就具有了真實的意義，離開了微積分不可能有現(xiàn)代物理，無論是力學(xué)、電學(xué)還是光學(xué)、熱學(xué)。微積分的創(chuàng)立得到了天文學(xué)的啟示，此后，天文學(xué)再

50、也離不開微積分。19世紀(jì)上半葉可能還認(rèn)為化學(xué)只需要簡單的代數(shù)知識，而生物學(xué)基本上與數(shù)學(xué)沒有聯(lián)系?，F(xiàn)在，化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)等都必須深入地同微積分打交道。,3．對人類物質(zhì)文明的影響　　　工程技術(shù)是最直接影響人類物質(zhì)生活的，然而工程技術(shù)的基礎(chǔ)即數(shù)理科學(xué)，也可以說，現(xiàn)代工程技術(shù)少不了微積分的支撐，從機(jī)械到材料力學(xué)，從大壩到電站的建設(shè)，都要利用微積分的思想和方法。如果說在落后的生產(chǎn)方式之下，只需要少量的幾何、三角知識就可以工作的話，如今，任何

51、一個未學(xué)過微積分的人都不可能從事科學(xué)技術(shù)工作。在有了微積分和萬有引力原理之后，人們就預(yù)見了人造衛(wèi)星及宇宙飛行的可能，并且早已利用微積分計算出了宇宙速度。今日滿天飛行的人造衛(wèi)星早在微積分產(chǎn)生之初就已在學(xué)者們的預(yù)料之中。在今天人類廣泛的經(jīng)濟(jì)活動、金融活動中，微積分也成了必不可少的工具。微積分誕生之初的主要背景是物理學(xué)和幾何學(xué)，而今，它幾乎成為一切領(lǐng)域所運用。它對人類物質(zhì)生活的影響是越來越大。,4．對人類文化的影響　　 只要研究變化規(guī)律就