二項式定理常見題型

1、1二項式定理1二項式定理：，011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN?????????????2基本概念：①二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。()nab?②二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù).rnC(012)rn????③項數(shù)：共項，是關(guān)于與的齊次多項式(1)r?ab④通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。1r?rnrrnCab?1rnrrrnTCab???3注意關(guān)鍵點：①項數(shù)：展開式中總

2、共有項。(1)n?②順序：注意正確選擇其順序不能更改。與是不同的。ab()nab?()nba?③指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項增到，是升冪排列。各項的次數(shù)和an0b0n等于.n④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是012.rnnnnnnCCCCC??????與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。ab4常用的結(jié)論：令1abx??0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN??????

3、??????令1abx???0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN?????????????5性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，0nnnCC?1kknnCC??②二項式系數(shù)和：令則二項式系數(shù)的和為，1ab??0122rnnnnnnnCCCCC?????????變形式。1221rnnnnnnCCCC?????????③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項

4、式定理中，令，則，11ab???0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC??????????從而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC????????????????????????④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：0011222012012001122202121001230123()()1(1)1(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxa

5、xaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa?????????????????????????????????????????????????????????????令則①令則024135(1)(1)()2(1)(1)()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa??????????????????????②①②得奇數(shù)項的系數(shù)和①②得偶數(shù)項的系數(shù)和⑤二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的

6、二項式系數(shù)取得最大值。n2nnC如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)同時取得n12nnC?12nnC?最大值。⑥系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別()nabx?為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。121nAAA????1r?112rrrrAAAA????????r3解：，令()得，12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxCx???????276rZ??09r??

7、39rr??或所以當(dāng)時，，，3r?2746r??334449(1)84TCxx????當(dāng)時，，。9r?2736r??3933109(1)TCxx????【題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和】【例5】：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為，求.2321()nxx?256?n解：設(shè)展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為2321()nxx?01naaa???則有①，則有②1x??令010naaa??????1x?令0123(1)2nnnaaaaa???

8、???????將①②得：1352()2naaa????????11352naaa??????????有題意得，，。1822562n??????9n??【練5】：若的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為，求它的中間項。35211()nxx?1024解：，，解得0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC???????????????????????121024n???11n?所以中間兩個項分別為，，67nn??56543551211

9、()()462nTCxxx?????611561462Tx????【題型六：最大系數(shù)，最大項】【例6】：已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中1(2)2nx?567二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大4652221980nnnCCCnn???????714nn??或7n?的項是，當(dāng)時，展開式45TT和34347135()222TC???的系數(shù)434571()2702TC??的系

10、數(shù)14n?中二項式系數(shù)最大的項是，。8T7778141C()234322T???的系數(shù)【練6】：在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？2()nab?解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即，也就是第項。2n2112nnTT???1n?【練7】：在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？31()2nxx?5解：只有第項的二項式最大，則，即所以展開式中常數(shù)項為第七項等于5152n??8n?6281()7

11、2C?【例7】：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？7()ab?解：因為二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項()的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，745第項從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。34347TCab??43457TCab?【例8】：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項？791(2)2nx?解：由解出假設(shè)項最大，01279nnnCCC???12n?1rT?12121211(2)()(14)22xx???