雙曲線經(jīng)典例題

1、習題精選精講11【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，??0122??nmnymx??221xyab??)0(??ba則|PF1||PF2|的值是（）A.B.C.D.am???am?2122am?am?【解析】橢圓的長半軸為??1221mPFPFm???，雙曲線的實半軸為??1222aPFPFa????，，故選A.??????2212121244PFPFmaPFPFma????????：【評注】嚴格區(qū)分橢

2、圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標127922??yxPMPF21?為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的12倒數(shù).由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（6，0），離心率2e?，右準線為.作于N，交雙曲線右支于P，32lx?：MNl?連FP，則.此時122PFePNPNPNPF????為最小.PM1375225P

3、FPMPNMN???????在中，令，得取.所求P點的坐標為.127922??yx3y?21223.xxx???????0，23x?233（，）（2）漸近線）漸近線——雙曲線與直線相約天涯雙曲線與直線相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨有.雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛

4、應用于有關(guān)解題之中.【例3】過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是xy21??【解析解析】設(shè)所求雙曲線為??2214xyk??點（1，3）代入：.代入（1）：135944k????即為所求.22223541443535xyxy??????【評注評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為22221xyab??222200xyxyabab?????，而無須考慮其實、虛軸的位置.2222xykab??XYOF(60

5、)M(53)PNP′N′X=32習題精選精講33【解析1】設(shè)AB交x軸于M，并設(shè)雙曲線半焦距為c，∵△是等邊三角形，∴點ABF23.22cOMMAc??代入雙曲線方程：322cAc?????????.化簡得：????2222222222222233444cbacabccaacaca?????????.422442284084042331cacaeeee?????????????（∵e＞1，∴及舍去）故選D.2423e??31e??【解析

6、2】連AF1，則△AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長為2c.令由直角三角形性質(zhì)知：1122.AFrAFr??.211221221222rrarcracrcrr????????????????∵.??22222222212424220220rrcacccaaccee??????????????∵e﹥1，∴取.選D.31e??【評注評注】即使是解析法解題，也須不失時機地引入幾何手段.（2）轉(zhuǎn)換法）轉(zhuǎn)換法——為解題化歸立意為解題化歸立

7、意【例7】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范l12222??byaxl圍是（）A.eB.12355【分析分析】就題論題的去解這道題，確實難以下手，那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點卻很好掌握.其二，因為已知直線的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙