量子力學試卷(2套)

1、2002級量子力學期末考試試題和答案級量子力學期末考試試題和答案A卷一、簡答與證明：（共25分）1、什么是德布羅意波？并寫出德布羅意波的表達式。（4分）2、什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質是什么？（6分）3、全同費米子的波函數有什么特點？并寫出兩個費米子組成的全同粒子體系的波函數。（4分）4、證明)??(22xxpxxpi?是厄密算符（5分）5、簡述測不準關系的主要內容，并寫出坐標x和動量xp?之間的測不準關二、（15分）已知厄密算符BA??

2、，滿足1??22??BA，且0??????ABBA，求1、在A表象中算符A?、B?的矩陣表示；2、在B表象中算符A?的本征值和本征函數；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）設氫原子在0?t時處于狀態(tài))()(21)()(21)()(21)0(112110311021???????????YrRYrRYrRr，求1、0?t時氫原子的E、2L?和zL?的取值幾率和平均值；2、0?t時體系的波函數，并給出此時體系的E、2L?和z

3、L?的取值幾率和平均值。四、（15分）考慮一個三維狀態(tài)空間的問題，在取定的一組正交基下哈密頓算符由下面的矩陣給出???????????????????????CCCH000000200030001?這里，HHH??????)0(，C是一個常數，1??C，用微擾公式求能量至二級修正值，并與精確解相比較。五、（10分）令yxiSSS???，yxiSSS???，分別求?S和?S作用于zS的本征態(tài)??????????0121和?????????

4、?1021的結果，并根據所得的結果說明?S和?S的重要性是什么？答案0????????iiee?012???1????對1??有：??????????121??iAe，對1???有：???????????121??iAe所以，在B表象中算符A?的本征值是1?，本征函數為????????121?ie和?????????121?ie3、類似地，在A表象中算符B?的本征值是1?，本征函數為????????121?ie和?????????121

5、?ie從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符B?在A表象中的本征函數按列排成的矩陣，即???????????1121??iieeS三、解：已知氫原子的本征解為：)321(12202????nnaeEsn)()()(?????lmnlnlmYrRr?，將)0(r?向氫原子的本征態(tài)展開，1、)0(r?=?nlmnlmnlmrc)()0(???，不為零的展開系數只有三個，即21)0(210?c，21)0(310??c，21)0(121??c

6、，顯然，題中所給的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數為：54，于是歸一化的展開系數為：515421)0(210??c，525421)0(310????c，525421)0(121???c（1）能量的取值幾率535251)0(2???EW，52)0(3?EW，平均值為：325253EEE??（2）2L?取值幾率只有：1)02(2??W，平均值222???L（3）zL?的取值幾率為：535251)00(????W，52)0(???W，平均值