同濟第六版《高等數學》教案word版-第03章-中值定理與導數的應用

1、高等數學教案3中值定理與導數的應用內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室第三章第三章中值定理與導數的應用中值定理與導數的應用教學目的：教學目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。3、會用二階導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。4、掌

2、握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點教學重點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數的極值，判斷函數的單調性和求函數極值的方法；3、函數圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學難點：教學難點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數的圖形描繪；4、洛必達法則的靈活運用。3?1中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅

3、爾定理費馬引理設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義?并且在x0處可導?如果對任意x?U(x0)?有f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))?那么f?(x0)?0?羅爾定理羅爾定理如果函數y?f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)?在開區(qū)間(ab)內可導?且有f(a)?f(b)?那么在(ab)內至少在一點??使得f?(?)?0?簡要證明?(1)如果f(x)是常函數?則f?(x)?0?定理的結論顯然成立?(2)如果f(x)不是常函

4、數?則f(x)在(a?b)內至少有一個最大值點或最小值點?不妨設有一最大值點??(a?b)?于是?0)()(lim)()(???????????????xfxfffx?0)()(lim)()(???????????????xfxfffx高等數學教案3中值定理與導數的應用內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室f(x2)?f(x1)?因為x1?x2是I上任意兩點?所以上面的等式表明?f(x)在I上的函數值總是相等的?這就是說?f(x)在

5、區(qū)間I上是一個常數?例2?證明當x?0時??xxxx????)1ln(1證設f(x)?ln(1?x)?顯然f(x)在區(qū)間[0?x]上滿足拉格朗日中值定理的條件?根據定理?就有f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)?0?x。由于f(0)?0??因此上式即為xxf???11)(?????1)1ln(xx又由0???x?有?xxxx????)1ln(1三、柯西中值定理三、柯西中值定理設曲線弧C由參數方程(a?x?b)?????)()(xfY

6、xFX表示?其中x為參數?如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線?那么在曲線C上必有一點x????使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB?曲線C上點x???處的切線的斜率為?)()(??FfdXdY???弦AB的斜率為?)()()()(aFbFafbf??于是?)()()()()()(??FfaFbFafbf?????柯西中值定理柯西中值定理如果函數f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?在開區(qū)間(a?b)內可導?且F