定積分 筆記

1、第三章積分學(xué)積分學(xué)頁第三節(jié)第三節(jié)定積分定積分一、定積分的定義一、定積分的定義設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為，，在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)()，作乘積并作為，記，如果不論對(duì)怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積記為：二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：(為常數(shù))性質(zhì)3：假設(shè)，性質(zhì)4：性質(zhì)5：在區(qū)間上，則性質(zhì)6：設(shè)及分別是

2、函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則性質(zhì)7(定積分中值定理定積分中值定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使第三章積分學(xué)積分學(xué)頁1、定積分的換元積分法、定積分的換元積分法例1求40d1xx??.解一d1xx??xt?令2d1ttt??12(1)d1tt????2(ln1)ttC????=2[ln1]xxC???于是4400d2[ln(1)]1xxxx?????=42ln3?.解二設(shè)xt?，即2(0)xtt??.當(dāng)0x?

3、時(shí)0t?當(dāng)4x?時(shí)，2t?.于是42220000d2d12(1)d2(ln1)2(2ln3)111xtttttttx??????????????.一般地，定積分換元法可敘述如下，設(shè)()fx在[]ab上連續(xù)而()xx??滿足下列條件：（1）()xx??在[]??上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）()()ab??????且當(dāng)t在[]??上變化時(shí)()xt??的值在[]ab上變化，則有換元公式：()d[()]()dbafxxfttt????????.例2求l