知識(shí)講解 二項(xiàng)式定理(理)(提高)110

1、第1頁(yè)共13頁(yè)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并掌握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1.1.定義定義一般地對(duì)于任意正整數(shù)n都有：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba???????????110)((Nn?)，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做nba)(?的二項(xiàng)展開(kāi)式。式中的

2、rnrrnCab?做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r1項(xiàng)：1rnrrrnTCab???，其中的系數(shù)rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2二項(xiàng)式二項(xiàng)式(ab)n的展開(kāi)式的特點(diǎn)：的展開(kāi)式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為rnC，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，

3、每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：①011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb???????????????(Nn?)②122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx??????????要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：1rnrrrnTCab??（nr210??）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

4、是rnC；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：（1）二項(xiàng)式(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r1項(xiàng)rnrrnCab?和(ba)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r1項(xiàng)rnrrnCba?是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的（2）通項(xiàng)是針對(duì)在(ab)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是1(1)rrnrrrnTCab????（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)

5、及其性質(zhì)要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1.1.楊輝三角和二項(xiàng)展開(kāi)式的推導(dǎo)。楊輝三角和二項(xiàng)展開(kāi)式的推導(dǎo)。在我國(guó)南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。第3頁(yè)共13頁(yè)2.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過(guò)對(duì)a、b取不同的特殊值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)

6、值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況。設(shè)2012()()nnnfxaxbaaxaxax????????(1)令x=0，則0(0)nafb??(2)令x=1，則012(1)()nnaaaafab????????(3)令x=－1，則0123(1)(1)()nnnaaaaafab???????????(4)024(1)(1)2ffaaa??????(5)135(1)(1)2ffaaa?????3.利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求

7、法：利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求法：如：求證：98322???nn能被64整除（Nn?）4.證明有關(guān)的不等式問(wèn)題：證明有關(guān)的不等式問(wèn)題：有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開(kāi)式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。①nxxn???1)1(；②22)1(1)1(xnnnxxn?????；（0?x）如：求證：nn)11(2??5.進(jìn)行近似計(jì)算

8、：進(jìn)行近似計(jì)算：求數(shù)的n次冪的近似值時(shí)，把底數(shù)化為最靠近它的那個(gè)整數(shù)加一個(gè)小數(shù)(或減一個(gè)小數(shù))的形式。當(dāng)||x充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：①nxxn???1)1(；②22)1(1)1(xnnnxxn?????；如：求605.1的近似值，使結(jié)果精確到0.01；【典型例題典型例題】類型一、類型一、求二求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1.求52322xx???????的二項(xiàng)式的展開(kāi)式【思路點(diǎn)撥】按照