二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與推廣 - 阜陽師范學(xué)院

1、二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與推廣,倪致祥,科學(xué)發(fā)現(xiàn)系列講座,二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn),通過探索,13世紀(jì)阿拉伯人已經(jīng)知道兩項(xiàng)和的n次方的展開結(jié)果:,二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn),為了便于看出規(guī)律，我們把它補(bǔ)充完整:,二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn),為了便于研究其中的規(guī)律, 1544年Stifel把公式中字母的系數(shù)提取出來,稱為二項(xiàng)式系數(shù).他發(fā)現(xiàn)其中每個(gè)數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之和.用公式表示為:,這個(gè)結(jié)果，中國數(shù)學(xué)家楊輝早在13世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了。,二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn),通過進(jìn)一步研究， 1

2、654年P(guān)ascal發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律,即通項(xiàng)公式:,1713年,Bernoulli對(duì)上面的公式給出了證明。,二項(xiàng)式定理的推廣1,上面得到的結(jié)果只適用于指數(shù)為自然數(shù)的情況，能否把二項(xiàng)式定理推廣到非自然數(shù)的情況呢?1665年，牛頓對(duì)此進(jìn)行了研究。他考慮了已知的無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式：,為了便于比較，我們把二項(xiàng)式定理改寫為：,二項(xiàng)式定理的推廣1,經(jīng)過仔細(xì)比較，不難發(fā)現(xiàn)上式中取n=-1時(shí)，自動(dòng)成為無窮遞縮等比數(shù)列求和公式。這說明二

3、項(xiàng)式定理的新形式在n=-1時(shí)也成立。這個(gè)結(jié)果有沒有一般性？牛頓大膽的猜想：二項(xiàng)式定理的新形式對(duì)于任意有理指數(shù)都是正確的，即：,二項(xiàng)式定理的推廣1,這個(gè)猜想是否正確？牛頓對(duì)此進(jìn)行了驗(yàn)證。當(dāng)指數(shù)為1/2時(shí)，有：,驗(yàn)證的結(jié)果與猜想一致。牛頓還對(duì)指數(shù)為1/3、2/3等情況進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果也與猜想一致。,二項(xiàng)式定理的推廣1,然而，僅僅憑著有限的驗(yàn)證能夠保證結(jié)論的普遍正確性嗎？還要不要嚴(yán)格的證明？牛頓認(rèn)為這已經(jīng)足夠了，不需要進(jìn)一步證明，他也沒有

4、給出證明。1811年，高斯對(duì)此進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，結(jié)果表明牛頓的猜想是正確的。二項(xiàng)式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在，人們已經(jīng)把二項(xiàng)式定理推廣到了指數(shù)為任意的實(shí)數(shù)，甚至復(fù)數(shù)時(shí)的情況。,二項(xiàng)式定理的推廣2,二項(xiàng)式定理給出了兩項(xiàng)和的n次冪的展開公式，有時(shí)我們也需要計(jì)算三項(xiàng)或多項(xiàng)和的n次冪，這時(shí)該怎么辦？最容易想到的辦法是多次應(yīng)用二項(xiàng)式定理，即先把后幾項(xiàng)合并成一項(xiàng)，應(yīng)用二項(xiàng)式定理，再對(duì)式子中出現(xiàn)

5、的后幾項(xiàng)的冪進(jìn)行類似處理。例如，對(duì)于三項(xiàng)和的n次冪，可以如下計(jì)算,二項(xiàng)式定理的推廣2,具體寫出來是,二項(xiàng)式定理的推廣2,為了保持展開后的對(duì)稱性，我們把展開式寫成,二項(xiàng)式定理的推廣2,把公式中字母的系數(shù)提取出來經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)上一三角形可以摞在下一三角形的上方，構(gòu)成一個(gè)正四面體。四面體中的每一個(gè)數(shù)等于其肩上三個(gè)數(shù)之和。,二項(xiàng)式定理的推廣2,同樣的方法，我們可以得到四項(xiàng)和的n次冪的計(jì)算公式,二項(xiàng)式定理的推廣2,為了看出多項(xiàng)和