高考微專(zhuān)題--導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)的放縮討論

1、第1頁(yè)高考微專(zhuān)題高考微專(zhuān)題導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)的放縮討論導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)的放縮討論蓮塘一中李樹(shù)森含參數(shù)的不等式在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，求參數(shù)的范圍問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中重要題型，此類(lèi)問(wèn)題通常是通過(guò)分類(lèi)討論、求導(dǎo)、構(gòu)造新函數(shù)、再求導(dǎo)等多步驟完成，過(guò)程復(fù)雜令考生望而生畏，特別是有的導(dǎo)函數(shù)是超越函數(shù)，零點(diǎn)的不確定性更是增加了問(wèn)題難度，這里我們介紹破解此種問(wèn)題的一種方法：超越函數(shù)，放縮有度?！纠}】已知函數(shù)當(dāng)時(shí)恒成立求實(shí)數(shù)的取值范()ln(1)(1)1xf

2、xeaxax??????0x?()0fx?a圍【過(guò)程分析】觀(guān)察發(fā)現(xiàn)函數(shù)，(0)0f?()(1)1xafxeaxx?????解決問(wèn)題需要的理論支撐：對(duì)于連續(xù)函數(shù)在上有且發(fā)現(xiàn)，則必()fx0[)x??()0fx?0()0fx?定存在的一個(gè)鄰域使得當(dāng)時(shí)即函數(shù)遞增；0x00()xx??00()xxx???()0fx?學(xué)生的困惑點(diǎn)是含參的導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)其零點(diǎn)是否存在或存在時(shí)超越方程又無(wú)法解出零點(diǎn)，此時(shí)我們可以考慮兩條路：要么繼續(xù)二階求導(dǎo)；要么放

3、縮導(dǎo)函數(shù)，將導(dǎo)函數(shù)放縮成可求零點(diǎn)的整式函數(shù)（關(guān)注等號(hào)成立情況，放縮要有度）；兩條路最終都回到討論參數(shù)范圍，驗(yàn)證不等式是否恒成立【解析】方法一：分析導(dǎo)函數(shù)，二階求導(dǎo)由題意知（）()(1)1xafxeax?????(1)(1)(1)1xexaxax???????0x?設(shè)，發(fā)現(xiàn)，（函數(shù)的正負(fù)等同于的正負(fù)）()(1)(1)(1)xgxexaxa??????(0)0g?()gx()fx知，易知在上單調(diào)遞增，即()(2)(1)xgxexa????(

4、2)xyex??0x?0(2)(2)|2xxxexex?????下面則以和確定參數(shù)分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論（分類(lèi)的依據(jù)是明確導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)）(1)2a??(1)2a??方法二：放縮導(dǎo)函數(shù)成可求零點(diǎn)的整式函數(shù)由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）知1xex??0x?()(1)1xafxeax?????1(1)1axax??????即（）2(1)(1)(1)()1xaxafxx???????[(1)]1xxax?????0x?下面則以和確定參數(shù)分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論

5、（分類(lèi)的依據(jù)是明確導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)）(1)0a??(1)0a??（1）當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，1a?()0gx?()gx0x?()(0)0gxg??得，知在上單調(diào)遞增，所以（符合題意）()0fx?()fx0x?()(0)0fxf??（2）當(dāng)時(shí)，（此時(shí)導(dǎo)函數(shù)不恒正了，可以通過(guò)再求導(dǎo)，取特殊點(diǎn)驗(yàn)證）1a?由，得()(1)1xafxeax?????2()(1)xafxex???當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，1a?()fx0x?(0)10fa???1(1)

6、1afae????（有兩項(xiàng)為了使同時(shí)含數(shù)與變量的項(xiàng)化為常數(shù)，賦值）()fxax1a?在時(shí)，，即1a?10a??101aee???1(1)10afae?????故在上存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即在上()fx(01)a?0x0[0)xx?()0fx?()fx0[0)xx?遞減，得，知在上遞減，此時(shí)與已知矛盾（不合題()(0)0fxf??()fx0[0)xx?()(0)0fxf??意）（出現(xiàn)多次求導(dǎo)時(shí)，要注意導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)函數(shù)的正

7、負(fù)對(duì)應(yīng)原函數(shù)的增減）【評(píng)析】用導(dǎo)數(shù)研究含有指數(shù)或?qū)?shù)的（超越類(lèi)）函數(shù)是很普遍的，有時(shí)還需要對(duì)這類(lèi)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的解析式放縮為可求零點(diǎn)函數(shù)，這樣確定導(dǎo)函數(shù)的正（負(fù)）分界點(diǎn)，這是參數(shù)討論依據(jù)，但要特別關(guān)注等號(hào)是否能夠傳遞，即放縮要有度，不恰當(dāng)就達(dá)不到目的。試題尋根之旅:構(gòu)造函數(shù)逆用函數(shù)單調(diào)性得參數(shù)取值范圍巧法：由時(shí)恒成立即，0x?()0fx?ln(1)1ln(1)ln(1)xxeaxxaxeax?????????第2頁(yè)(觀(guān)察結(jié)構(gòu)，將指對(duì)數(shù)分

8、離，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題來(lái)源于一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性)令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，()xxeax???()[ln(1)]xx????0x?再令（），，且，()ln(1)hxxx???0x?1()1011xhxxx??????(0)0h?知恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即對(duì)恒成立，()(0)0hxh??0x?ln(1)xx??[0)x???所以逆用函數(shù)單調(diào)性知在上為單調(diào)遞增函數(shù)()xxeax???[0)x???即對(duì)恒成立，，即為所求()0xxea????[0)x