6.1微分中值定理

1、《數(shù)學(xué)分析》上冊教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用3第六章第六章微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用引言引言在前一章中我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的概念詳細(xì)地討論了計算導(dǎo)數(shù)的方法.這樣一來類似于求已知曲線上點的切線問題已獲完美解決.但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜一些的問題那么只知道怎樣計算導(dǎo)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的而要以此為基礎(chǔ)發(fā)展更多的工具.另一方面我們注意到：（1）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)（2）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征（3）我們往往要

2、了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)因此如何解決這個矛盾？需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起一一聯(lián)系――搭起一座橋這個“橋”就是微分中值定理.本章以中值定理為中心來討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)（單調(diào)性、極值、凹凸性質(zhì)）方面的應(yīng)用.6.16.1微分中值定理微分中值定理教學(xué)章節(jié)：教學(xué)章節(jié)：第六章微分中值定理及其應(yīng)用——6.1微分中值定理教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：掌握微分學(xué)中值定理領(lǐng)會其實質(zhì)為微分學(xué)的應(yīng)用打下堅實的理論基礎(chǔ).教學(xué)要求：教學(xué)要求：深刻理解中值定理及其分析意

3、義與幾何意義掌握三個定理的證明方法知道三者之間的包含關(guān)系.教學(xué)重點：教學(xué)重點：中值定理.教學(xué)難點：教學(xué)難點：定理的證明.教學(xué)方法：教學(xué)方法：系統(tǒng)講解法.教學(xué)過程：教學(xué)過程：一、一個幾何命題的數(shù)學(xué)描述一、一個幾何命題的數(shù)學(xué)描述為了了解中值定理的背景我們可作以下敘述：弧上有一點P該處的切線平行與弦AABAB.如何揭示出這一敘述中所包含的“數(shù)量”關(guān)系呢？聯(lián)系“形”、“數(shù)”的莫過于“解析幾何”故如建立坐標(biāo)系則弧的函數(shù)是y=f(x)xAAB?[a

4、b]的圖像點P的橫坐標(biāo)為.如點P處有切線則f(x)在點處可導(dǎo)且切線的斜率x??x??為另一方面弦AB所在的直線斜率為曲線y=f(x)上點P的切線平行于弦()f??()()fbfaba??AB.?()()()fbfafba?????《數(shù)學(xué)分析》上冊教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用5滿足Rolle定理的任何條件但存在無限多個(11)使得.??()0f???（4）Lagrang定理中涉及的公式：稱之為“中值公式”.這個定理也稱()()()fbf

5、afba?????為微分基本定理.中值公式有不同形式：（?。ゝ(b)f(a)=(ba)(ab)（ⅱ）()f????f(b)f(a)=0b均成立.此時在ab之間（ⅱ）、（ⅲ）的好處在于無論ab如何變化?易于控制.(01)??三、極值三、極值定義定義3（極值）若函數(shù)f在區(qū)間I上有定義.若存在的鄰域使得對于任0xI?0x0()Ux意的有則稱f在點取得極大值稱點為極大值點.若存在的鄰域0()xUx?0()()fxfx?0x0x0x使得對于任意的

6、有則稱f在點取得極小值稱點為極小值0()Ux0()xUx?0()()fxfx?0x0x點.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點.注1、極值是局部性概念若是極值是和點附近的函數(shù)值比較而言的和離較遠(yuǎn)0()fx0x0x的地方無關(guān)最值顯然是對整個區(qū)間而言的是整體概念.2、閉區(qū)間[ab]上的連續(xù)函數(shù)必有最值且最大值和最小值各有一個最大值小于最小值（常函數(shù)除外）但可能無極值.即使有極值也可能不止一個極小值也可能大于極大值.因

7、此若f(a)是函數(shù)的最值則f(a)不可能是極值若（）是函數(shù)的最值則一定是極0()fx0()xab?值.（即最值不一定是極值反之極值也不一定是最值因此極值有很多但若極值只有一個即為最值.）極值存在的必要條件――費馬（極值存在的必要條件――費馬（Fermat）定理定理費馬定理費馬定理若函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義且在點可導(dǎo).若為f的極值點則比有0x0x0x.（即可導(dǎo)極值點的導(dǎo)數(shù)為零.）其幾何意義：可導(dǎo)極值點出的切線平行于x軸）稱0()0fx??滿