6.1微分中值定理

1、《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用3第六章第六章微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用引言引言在前一章中我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的概念詳細(xì)地討論了計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法.這樣一來(lái)類(lèi)似于求已知曲線上點(diǎn)的切線問(wèn)題已獲完美解決.但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜一些的問(wèn)題那么只知道怎樣計(jì)算導(dǎo)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的而要以此為基礎(chǔ)發(fā)展更多的工具.另一方面我們注意到：（1）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的的函數(shù)（2）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征（3）我們往往要

2、了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)因此如何解決這個(gè)矛盾？需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起一一聯(lián)系――搭起一座橋這個(gè)“橋”就是微分中值定理.本章以中值定理為中心來(lái)討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)（單調(diào)性、極值、凹凸性質(zhì)）方面的應(yīng)用.6.16.1微分中值定理微分中值定理教學(xué)章節(jié)：教學(xué)章節(jié)：第六章微分中值定理及其應(yīng)用——6.1微分中值定理教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：掌握微分學(xué)中值定理領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)為微分學(xué)的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).教學(xué)要求：教學(xué)要求：深刻理解中值定理及其分析意

3、義與幾何意義掌握三個(gè)定理的證明方法知道三者之間的包含關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：中值定理.教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：定理的證明.教學(xué)方法：教學(xué)方法：系統(tǒng)講解法.教學(xué)過(guò)程：教學(xué)過(guò)程：一、一個(gè)幾何命題的數(shù)學(xué)描述一、一個(gè)幾何命題的數(shù)學(xué)描述為了了解中值定理的背景我們可作以下敘述：弧上有一點(diǎn)P該處的切線平行與弦AABAB.如何揭示出這一敘述中所包含的“數(shù)量”關(guān)系呢？聯(lián)系“形”、“數(shù)”的莫過(guò)于“解析幾何”故如建立坐標(biāo)系則弧的函數(shù)是y=f(x)xAAB?[a

4、b]的圖像點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.如點(diǎn)P處有切線則f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)且切線的斜率x??x??為另一方面弦AB所在的直線斜率為曲線y=f(x)上點(diǎn)P的切線平行于弦()f??()()fbfaba??AB.?()()()fbfafba?????《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用5滿足Rolle定理的任何條件但存在無(wú)限多個(gè)(11)使得.??()0f???（4）Lagrang定理中涉及的公式：稱(chēng)之為“中值公式”.這個(gè)定理也稱(chēng)()()()fbf

5、afba?????為微分基本定理.中值公式有不同形式：（?。ゝ(b)f(a)=(ba)(ab)（ⅱ）()f????f(b)f(a)=0b均成立.此時(shí)在ab之間（ⅱ）、（ⅲ）的好處在于無(wú)論ab如何變化?易于控制.(01)??三、極值三、極值定義定義3（極值）若函數(shù)f在區(qū)間I上有定義.若存在的鄰域使得對(duì)于任0xI?0x0()Ux意的有則稱(chēng)f在點(diǎn)取得極大值稱(chēng)點(diǎn)為極大值點(diǎn).若存在的鄰域0()xUx?0()()fxfx?0x0x0x使得對(duì)于任意的

6、有則稱(chēng)f在點(diǎn)取得極小值稱(chēng)點(diǎn)為極小值0()Ux0()xUx?0()()fxfx?0x0x點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)極值點(diǎn).注1、極值是局部性概念若是極值是和點(diǎn)附近的函數(shù)值比較而言的和離較遠(yuǎn)0()fx0x0x的地方無(wú)關(guān)最值顯然是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言的是整體概念.2、閉區(qū)間[ab]上的連續(xù)函數(shù)必有最值且最大值和最小值各有一個(gè)最大值小于最小值（常函數(shù)除外）但可能無(wú)極值.即使有極值也可能不止一個(gè)極小值也可能大于極大值.因

7、此若f(a)是函數(shù)的最值則f(a)不可能是極值若（）是函數(shù)的最值則一定是極0()fx0()xab?值.（即最值不一定是極值反之極值也不一定是最值因此極值有很多但若極值只有一個(gè)即為最值.）極值存在的必要條件――費(fèi)馬（極值存在的必要條件――費(fèi)馬（Fermat）定理定理費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且在點(diǎn)可導(dǎo).若為f的極值點(diǎn)則比有0x0x0x.（即可導(dǎo)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零.）其幾何意義：可導(dǎo)極值點(diǎn)出的切線平行于x軸）稱(chēng)0()0fx??滿