廈門(mén)大學(xué)許文彬--高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)全套講義（共744幻燈片，可修改）

1、高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論,Advanced Microeconomic TheoryGeoffrey A. JehlePhilip J. Reny,Slide 2,課案簡(jiǎn)介,底本編寫(xiě)者：夏紀(jì)軍Email：jijunxia@mail.shufe.edu.cn網(wǎng)頁(yè)：http://iclass.shufe.edu.cn/teacherweb 財(cái)大主頁(yè)?公共信息?教師主頁(yè)修訂者：許文彬Email：hsuwenbin@163.com,S

2、lide 3,課程簡(jiǎn)介,教材：G. A. Jehle & P. Reny Advanced Microeconomic Theory參考書(shū)：H. R. Varian Microeconomic AnalysisA. Mas-Colell, M. D. Whinston & J. R. GreenMicroeconomic Theory,Ch 0. 導(dǎo)論,Slide 5,主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架,四個(gè)分析層次

3、經(jīng)濟(jì)環(huán)境個(gè)體行為分析最優(yōu)化原則個(gè)體互動(dòng)結(jié)果均衡分析福利分析,Slide 6,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,古典經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際革命（1870年代，門(mén)格爾，瓦爾拉斯，杰文斯）,Slide 7,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心是初創(chuàng)于李嘉圖，綜合于穆勒的生產(chǎn)成本價(jià)值論。在很大的意義上，馬克思的勞動(dòng)價(jià)值論和剩余價(jià)值論同樣歸屬于這一體系。邊際革命的意義在于力圖把經(jīng)濟(jì)理論建立在主觀意義之上，納入主觀心理的范疇。邊際主義者認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)該是研究享

4、樂(lè)并使其最大化的科學(xué)；消費(fèi)是實(shí)現(xiàn)和追求享樂(lè)的直接領(lǐng)域，因此消費(fèi)才是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。而消費(fèi)又是通過(guò)個(gè)人的行為得以實(shí)現(xiàn)的，個(gè)人是消費(fèi)的主體，于是，個(gè)人的消費(fèi)行為被視為研究的重點(diǎn)。分析個(gè)人消費(fèi)心理成為經(jīng)濟(jì)分析的根本出發(fā)點(diǎn)和理論支點(diǎn)。,Slide 8,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,邊際主義者宣稱(chēng)，效用是人對(duì)物品滿(mǎn)足自己欲望的一種估價(jià)，它純粹是一種主觀現(xiàn)象，決不存在于人的意識(shí)之外。物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供應(yīng)存在確定上限。效用和稀

5、缺性結(jié)合，就產(chǎn)生了價(jià)值現(xiàn)象。所謂價(jià)值，就是人對(duì)物品主觀效用的評(píng)價(jià)，它顯然也是純粹的主觀現(xiàn)象。,Slide 9,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,門(mén)格爾在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法上，強(qiáng)調(diào)以抽象演繹法為主，輔以經(jīng)驗(yàn)歸納法。這一主張是以承認(rèn)經(jīng)濟(jì)規(guī)律的存在和能夠被認(rèn)識(shí)為前提的。杰文斯和瓦爾拉斯主張并實(shí)際進(jìn)行了將數(shù)學(xué)方法引入經(jīng)濟(jì)學(xué)的嘗試，成為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的先驅(qū)。二者對(duì)此后經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論的發(fā)展起到了極其深遠(yuǎn)的影響。,Slide 10,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,邊際革命的擴(kuò)展：

6、（1）對(duì)邊際效用價(jià)值論的深化和通俗化（2）從基數(shù)效用論轉(zhuǎn)向序數(shù)效用論（3）邊際生產(chǎn)力論的完成（4）對(duì)包括邊際效用論和邊際生產(chǎn)力論在內(nèi)的整個(gè)邊際主義的不同形式的綜合闡述。對(duì)邊際革命不同方向的擴(kuò)展形成了不同的學(xué)派，瑞典洛桑學(xué)派、奧地利學(xué)派，以及所謂新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)派，都是對(duì)邊際革命的不同方向的擴(kuò)展結(jié)果。,Slide 11,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,邊際主義學(xué)說(shuō)與原本它要反對(duì)的英國(guó)古典學(xué)派傳統(tǒng)的融合，最終形成了新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)。這使邊際主義從異端走向

7、正宗，新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)也成為近現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的主流學(xué)派。這一學(xué)派的創(chuàng)始者是馬歇爾（1890，《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》）。馬歇爾的理論將價(jià)值論和供求論統(tǒng)一起來(lái)，提出“供求均衡價(jià)值論”，從而使原本針?shù)h相對(duì)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)和邊際主義理論相互融合，并以此為軸線建立起自己的學(xué)說(shuō)體系。馬歇爾的理論體系直到1930年代受到來(lái)自于凱恩斯的挑戰(zhàn)，二戰(zhàn)后，凱恩斯主義部分取代了馬歇爾理論中關(guān)于宏觀的方面，從而使得新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)在當(dāng)代條件下采取了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的形式。,Slid

8、e 12,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,薩繆爾森基本上全盤(pán)繼承了馬歇爾的理論體系，并吸收了凱恩斯關(guān)于有效需求的論述，從而建立起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論體系。如果說(shuō)邊際主義革命是現(xiàn)代主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的肇始的話(huà)，那么，博弈論的興起和迅猛發(fā)展，就是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)“二次革命”的契機(jī)。博弈論的興起，“正在改寫(xiě)著微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)”。,Slide 13,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的演變,一個(gè)粗略的學(xué)術(shù)譜系：,門(mén)格爾,,龐巴維克,維塞爾,,,,,杰文斯,維斯蒂德,,瓦爾拉斯,帕累托,,,奧地利學(xué)

9、派,,洛桑學(xué)派,,,,古典經(jīng)濟(jì)學(xué),,,,馬歇爾,,薩繆爾森,新古典經(jīng)濟(jì)學(xué),,邊際革命,Slide 14,數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué),提高經(jīng)濟(jì)學(xué)爭(zhēng)論的效率 ，加速理論的創(chuàng)新。形成統(tǒng)一的知識(shí)體系，便于交流、傳承，以及知識(shí)的積累。,Slide 15,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,集合 實(shí)數(shù)集n 維歐氏空間 iff xi>yi,i=1,2,…,n,,Slide 16,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,Convex sets in Rn

10、 is a convex set if for all we have 如果一個(gè)集合包含了該集合中每對(duì)點(diǎn)的所有凸組合，它才是凸的。當(dāng)且僅當(dāng)我們可把集合內(nèi)的兩點(diǎn)用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內(nèi)的情況下，這一集合才是凸的。,Slide 17,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,:binary relation between S and TAny collection of ordered pairs

11、s與t存在特定關(guān)系,或,Slide 18,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,Completeness（完備性）A relation on S is complete if, for all elements x,y in S,,Slide 19,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,度量與度量空間,歐氏空間歐氏度量：,Slide 20,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,開(kāi)鄰域,Slide 21,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,例1：在R1上的鄰域,Slide 22,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,上的鄰域：,

12、,,,,,,,,Slide 23,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,開(kāi)集如果 ，都 使 ，那么 是 上的開(kāi)集。,Slide 24,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,閉集 S如果 S 的補(bǔ)集 Sc 是開(kāi)集，那么 S 是閉集。,Slide 25,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,定理：一個(gè)集合 是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有的序列 ，如果對(duì)任意的m有

13、 ，那么，就有 。,Slide 26,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,Bounded Sets （有界集）A set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within someThat is,,Slide 27,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,upper and lower bound of S in Rupper bound: u最小上界：上確

14、界（l.u.b.）lower bound: l最大下界：下確界（g.l.b.）,Slide 28,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,定理1.5：實(shí)數(shù)子集的上界與下界1、有界開(kāi)集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。,Slide 29,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）,Compact set （緊集）有界閉集,Ch1 消費(fèi)者理論,Slide 31,1. 消費(fèi)者理論,消費(fèi)集偏好關(guān)系與效用函數(shù)消費(fèi)者問(wèn)題間接效用函數(shù)與支出函數(shù)需求函數(shù)性質(zhì),Slide 3

15、2,1.1 消費(fèi)集,商品 i 及其數(shù)量種類(lèi)有限性數(shù)量無(wú)限可分,消費(fèi)組合（束）,Slide 33,1.1 消費(fèi)集,商品定義時(shí)點(diǎn): 今天的面包 VS 昨天的面包地點(diǎn): 上海的面包與北京的面包狀態(tài):生產(chǎn)期為1天的面包與生產(chǎn)期為2天的面包,Slide 34,1.1 消費(fèi)集,例：跨期消費(fèi)決策兩種商品： 第一期消費(fèi) 第二期消費(fèi),Slide 35,1.1 消費(fèi)集,消費(fèi)集：消費(fèi)者可以想象自己可能消費(fèi)的

16、各種消費(fèi)組合的集合。,——反映自然的約束以及消費(fèi)者關(guān)于商品的信息,Slide 36,1.1 消費(fèi)集,,,,,,休閑時(shí)間,24,面包,·自然約束(physical constraint)：總量約束,(i),Slide 37,1.1 消費(fèi)集,,,,,,1,3,2,,,,汽車(chē),汽油,(ii),·自然約束(physical constraint)：?jiǎn)挝患s束,Slide 38,1.1 消費(fèi)集,更具一般性的消費(fèi)集,,,Slide

17、 39,1.1 消費(fèi)集,消費(fèi)集基本假設(shè)Nonempty： is closed凸性 (convex),Slide 40,1.1 消費(fèi)集,可行集 B在給定環(huán)境約束下，所有消費(fèi)者實(shí)際上可以選擇的消費(fèi)束。,——反映制度、技術(shù)、個(gè)人能力等因素,Slide 41,1.2 偏好與效用,如何描述消費(fèi)者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法則 ?需求規(guī)律——基數(shù)效用論,Slide

18、42,1.2 偏好與效用,序數(shù)效用論P(yáng)areto(1896)、Slutsky（1915）Hicks（1939）: Value and CapitalDebru（1959）: Theory of Value ——公理化方法,Slide 43,1.2 偏好與效用,理性假設(shè)the consumer can choose能夠判斷自己喜歡什么and choices are consistent自己的偏好具有一致性,Slide 4

19、4,1.2.1 偏好關(guān)系,二元關(guān)系(binary relation):如果 ，有 , 那么 至少與 一樣好。讀作： 偏好于 。,Slide 45,1.2.1 偏好關(guān)系,偏好公理1：完備性,Slide 46,1.2.1 偏好關(guān)系,定義1.1：如果在消費(fèi)集 上的二元關(guān)系 滿(mǎn)足公理1和2，那么我們稱(chēng)它為偏好關(guān)系。,Slide 47,1.2.1

20、 偏好關(guān)系,定義1.2：strict preference relation,而且,讀作： 嚴(yán)格偏好于,定義1.3：indifference relation,而且,讀作： 與 無(wú)差異,Slide 48,1.2.1 偏好關(guān)系,消費(fèi)集的分劃弱偏好集：嚴(yán)格偏好集：無(wú)差異集：,Slide 49,1.2.1 偏好關(guān)系,,,消費(fèi)集的分劃,Slide 50,1.2.1 偏好關(guān)系,公理3：連續(xù)性

21、 ,如果 都有 而且有 和 ，那么就有,定理：,Slide 51,1.2.1 偏好關(guān)系,Slide 52,1.2.1 偏好關(guān)系,例1：字典序偏好設(shè) ， 如果 或 ，并且如：奧運(yùn)會(huì)金牌榜,Slide 53,1.2.1 偏好關(guān)系,證明：字典序偏好不連續(xù)(

22、反證法),假設(shè)：該偏好關(guān)系具有連續(xù)性,——與結(jié)論(1)矛盾,Slide 54,1.2.1 偏好關(guān)系,公理 :局部非飽和性 , , 使得 。,——總存在改進(jìn)福利的可能性,Slide 55,1.2.1 偏好關(guān)系,,,,,X1,,,不滿(mǎn)足公理,,Slide 56,,,,,,,,,局部非飽和性?無(wú)差異集合是一條

23、曲線， 不存在無(wú)差異區(qū)域。,1.2.1 偏好關(guān)系,Slide 57,,,,,,,,,X3,（好的）商品越多越好?。?,,X2,,Slide 58,1.2.1 偏好關(guān)系,公理4：嚴(yán)格單調(diào)性 ，如果有 那么有 ，如果有 ，那么有嚴(yán)格單調(diào)

24、性?局部非飽和性,Slide 59,,,,,,,,X2,X3,,X1,,,,,1.2.1 偏好關(guān)系,,?無(wú)差異曲線斜率為負(fù),嚴(yán)格單調(diào)性,Slide 60,1.2.1 偏好關(guān)系,公理 ：凸性如果 ，那么,,Slide 61,,,,,,,X2,,,X1,,Xt,,1.2.1 偏好關(guān)系,Slide 62,1.2.1 偏好關(guān)系,公理5 ：嚴(yán)格凸性如果 和 ，那么,

25、,Slide 63,1.2.1 偏好關(guān)系,,,,,X1,Xt,,,,,嚴(yán)格單調(diào)、凸性偏好 ?凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線,Slide 64,,,,,,X1,Xt,,,,嚴(yán)格單調(diào)、嚴(yán)格凸性偏好?嚴(yán)格凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線,1.2.1 偏好關(guān)系,Slide 65,1.2.1 偏好關(guān)系,邊際替代率無(wú)差異曲線的斜率,凸偏好?邊際替代率非遞增,嚴(yán)格凸偏好?邊際替代率遞減,Ch 1.2.2 效用函數(shù),,Slide 67,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù),連續(xù)性如果定義

26、域的一個(gè)“微小運(yùn)動(dòng)”并不導(dǎo)致值域的“大跳躍”，那么，函數(shù)基本上可以判斷是連續(xù)的。嚴(yán)格定義：PP427R到R的函數(shù)的連續(xù)性概念可以推廣到兩個(gè)度量空間之間的函數(shù)中。函數(shù),Slide 68,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù),連續(xù)性（Cauchy） 在此定義中，函數(shù)的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個(gè)子集中取值。,Slide 69,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù),象與原象（inverse image） 連續(xù)性與原象（定理A1-6）,Slide 70,數(shù)學(xué)

27、基礎(chǔ)：函數(shù),定理A1.7：連續(xù)函數(shù)在緊集上的象（image) 是緊集,Slide 71,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：函數(shù),極值存在性定理（Weierstrass）證明：根據(jù) 定理A1-7，f（x）在 R上是一個(gè)緊集，所以f（x）是閉且有界的，令a為其上確界，則a是f（x）的極限點(diǎn)；又因?yàn)閒（x）是閉的，所以a屬于f（x），即在S中存在某點(diǎn)xd，使得f（xd）=a。,Slide 72,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：多變量函數(shù)的微分,二階微分：,（海賽矩陣）,Sli

28、de 73,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矩陣,定義： N×N矩陣M，如果 都有半負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是0或負(fù)數(shù)；負(fù)定矩陣的特點(diǎn)是其每個(gè)特征值都是負(fù)數(shù)。,那么，稱(chēng)M是半負(fù)定矩陣；,如果不等號(hào)嚴(yán)格成立，那么稱(chēng)M為負(fù)定矩陣。,,,,,Slide 74,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù),,,Slide 75,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù),證明：充分性,定理,? f(x)是擬凹函數(shù),Slide 76,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù),必要性：

29、,?S(y)是凸集,Slide 77,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù),Slide 78,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：擬凹函數(shù),定理：連續(xù)可微函數(shù) f ,以下三個(gè)命題等價(jià)：1、f是凹的，2、對(duì)于D中所有x，H（x）是負(fù)半定的，3、對(duì)于一切x0屬于D，,,Slide 79,1.2.2 效用函數(shù),定義1.5：實(shí)值函數(shù) u: R???R是表示偏好關(guān)系 的效用函數(shù)，如果存在性唯一性,,Slide 80,1.2.2.1 效用函數(shù)存在性,定理1.1 (P

30、14)：代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性定義在 的偏好關(guān)系滿(mǎn)足連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性，那么就存在一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù) 表示 . 。,,Slide 81,1.2.2.1 效用函數(shù)存在性,定理1.1證明思路先構(gòu)造一個(gè)實(shí)值函數(shù)然后證明它滿(mǎn)足效用函數(shù)的條件,Slide 82,I、效用函數(shù)的構(gòu)造,,,0,,,,,連續(xù)性?,是非空閉集(上一講公理3),Slide 83,I、效用函數(shù)的構(gòu)造,嚴(yán)格單調(diào)性,那么,

31、都有,?如果,?,那么,都有,?如果,?,完備性?,?,?,?,?,（A是有下界閉集）,（B是有界閉集）,Slide 84,I、效用函數(shù)的構(gòu)造,而且 是唯一的。因?yàn)椋?假設(shè),（嚴(yán)格單調(diào)性）,（傳遞性）,?,存在唯一的 使得,Slide 85,I、效用函數(shù)的構(gòu)造,,,0,,,,,,,,u(x)e~x,Slide 86,,至此我們證明出，對(duì)于每個(gè)x屬于R，正好存在一個(gè)函數(shù)u（x），使得u(x)e~x。到

32、此為止,我們構(gòu)造了一個(gè)效用函數(shù),它給X中的每一消費(fèi)束分配一個(gè)數(shù)字。以下我們將說(shuō)明這一效用函數(shù)代表偏好關(guān)系。,Slide 87,II、 是效用函數(shù),（傳遞性）,（嚴(yán)格單調(diào)性）,——u(x)是表示偏好關(guān)系 效用函數(shù),Slide 88,III、 是連續(xù)函數(shù),效用函數(shù)u(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象),（定義）,（單調(diào)性）,（傳遞性）,是開(kāi)集,Slide 89,III、 是連續(xù)函數(shù),定理A1.

33、6：（P429）,，在任意開(kāi)集,的逆映射 在,是開(kāi)集,連續(xù),Slide 90,1.2.2.2 效用函數(shù)的唯一性,正單調(diào)變化,其中,在 的取值范圍上是嚴(yán)格遞增函數(shù)。,Slide 91,1.2.2.2 效用函數(shù)的唯一性,定理1.2：效用函數(shù)對(duì)正單調(diào)變化的不變性實(shí)值函數(shù)u(x)能夠表示偏好關(guān)系 ，那么，當(dāng)且僅當(dāng)v(x)是u(x)的正單調(diào)變換,v(x)也能夠表示該偏好關(guān)系。,Slide 92,1.2.2.

34、2 效用函數(shù)的唯一性,設(shè) 表示的是偏好關(guān)系 的結(jié)構(gòu)。,,,,Slide 93,效用函數(shù)與無(wú)差異曲線,無(wú)差異集：,,,,,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),Slide 94,上等值集(Superior Set),,,【嚴(yán)格上等值集】,,,,,,,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),Slide 95,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),,嚴(yán)格遞增,嚴(yán)格單調(diào),,,,,,,,,,,Slide 96,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),,擬

35、凹,具有凸性,Slide 97,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),處處具有可導(dǎo)性無(wú)差異曲線光滑（smooth）無(wú)差異關(guān)系是XⅹX上的光滑流形。,邊際效用,（偏好單調(diào)性）,（偏好嚴(yán)格單調(diào)性）,【幾乎處處成立】,Slide 98,1.2.2.3 效用函數(shù)的性質(zhì),是凹函數(shù),,,,,擬凹 邊際效用遞減,Slide 99,1.2.2.3 效用函數(shù)性質(zhì),海塞矩陣 滿(mǎn)足本章PPT，P13,凹,,Slide

36、100,1.2.2.4 效用函數(shù)實(shí)例,,,,2X1,,,,X1,,,,,,2X0,X0,,,,,位似偏好(homothetic preference),Slide 101,1.2.2.4 效用函數(shù)實(shí)例,位似偏好效用函數(shù)如果 是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次效用函數(shù)來(lái)表示。,位似偏好：,證明：,Slide 102,1.2.2.4 效用函數(shù)實(shí)例,位似偏好效用函數(shù)如果 是位似偏好，那么就可以用一個(gè)一次齊次函數(shù)的正

37、單調(diào)變換來(lái)表示。,Slide 103,1.2.2.4 效用函數(shù)實(shí)例,擬線性偏好(quasilinear preference)偏好關(guān)系 是相對(duì)于商品1的擬線性偏好，如果 ~ ~,其中,Slide 104,1.2.2 效用函數(shù)實(shí)例,擬線性偏好效用函數(shù),Slide 105,1.2.2 效用函數(shù)實(shí)例,CES（constant elasticity of substitut

38、ion）效用函數(shù),Slide 106,作業(yè)2：,1.12、1.13、1.14、1.15,Ch 1.3 消費(fèi)者問(wèn)題,Slide 108,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,最優(yōu)解的性質(zhì)最優(yōu)解的充分必要條件,Slide 109,數(shù)學(xué)基礎(chǔ),約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法 受約束于可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，用無(wú)拘束三變量函數(shù)替代兩變量函數(shù)：,,,,Slide 110,拉格朗日定理（定理A2-16）,設(shè)f（x）與

39、 是一些定義域在 上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*是f的一個(gè)最優(yōu)值點(diǎn)（最大值或最小值）；f受到 的約束，如果梯度向量 是線性獨(dú)立的，那么總會(huì)存在m個(gè)不同的數(shù) 使得,,,,,,,,,Slide 111,定理A2-19,受非負(fù)性條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的必要條件：設(shè)f(x)是連續(xù)可微的1

40、.如果在 的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿(mǎn)足:,,,,,Slide 112,定理A2-19,續(xù),2.如果在 的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿(mǎn)足:,,Slide 113,Kuhn-Tucker條件（定理A2-20）,受不等式條件約束的實(shí)值函數(shù)最優(yōu)化的（ Kuhn-Tucker ）必要條件設(shè)f（x）與 是一些定義域在 上的連續(xù)

41、可微的實(shí)值函數(shù)。設(shè)x*是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)并且x*受到條件 約束的f的最優(yōu)解（最大值或最小值解）。如果與所有束緊約束相關(guān)的梯度向量 是線性獨(dú)立的，那么必存在唯一的向量 使得（x*， ）滿(mǎn)足Kuhn-Tucker 條件：,,,,,Slide 114,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,分析框架偏好關(guān)系：消費(fèi)集：可行集： 最優(yōu)化選擇：

42、,Slide 115,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,假設(shè)1.2消費(fèi)者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性。消費(fèi)者的效用可以由一連續(xù)、嚴(yán)格遞增的擬凹實(shí)值函數(shù) 表示。,Slide 116,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,可行集預(yù)算行動(dòng)規(guī)則制度、政府規(guī)制等交易規(guī)則：完全競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng),可行集：,,Slide 117,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,,,,,,,例：跨期消費(fèi)選擇,Slide 118,Ch 1.3 消費(fèi)者

43、選擇問(wèn)題,收入：,利率：,例：跨期消費(fèi)選擇,預(yù)算約束：,（未來(lái)值形式）,Slide 119,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,,,,,,,借不到錢(qián),融資約束,,,Slide 120,Ch 1.3 消費(fèi)者選擇問(wèn)題,消費(fèi)者問(wèn)題,Slide 121,Ch 1.3.1 解的性質(zhì)：存在性,,如果定義域 D是一個(gè)緊集，那么,連續(xù)實(shí)值函數(shù)u(x)則存在最大值。,是 上的連續(xù)函數(shù),非空,是有界、閉集,是緊集,存在最大值,滿(mǎn)足假設(shè)1.2?,Slide

44、122,Ch 1.3.1 解的性質(zhì)：唯一性,如果偏好關(guān)系滿(mǎn)足嚴(yán)格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一,證明：,是凸集?,——與假設(shè)矛盾?假設(shè)不成立?解是唯一的,Slide 123,Ch 1.3.1 解的性質(zhì)：唯一性,非凸偏好,,,,,,,,,x1,x2,Slide 124,Ch 1.3.1 解的性質(zhì)：唯一性,非嚴(yán)格凸偏好,,,,,,x2,,,,Slide 125,Ch 1.3.1 解的性質(zhì)：瓦爾拉斯法則,瓦爾拉斯法則偏好的遞增性

45、當(dāng)且僅當(dāng) 滿(mǎn)足以下條件時(shí)效用函數(shù)取到最大值：,,,Slide 126,Ch 1.3.1 解的性質(zhì),偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴(yán)格凸性偏好的遞增性效用最大化問(wèn)題的解就是馬歇爾需求函數(shù)。,存在性,唯一性,瓦爾拉斯法則,——馬歇爾需求函數(shù),Slide 127,Ch 1.3.2 解的充要條件,偏好具有良好性質(zhì)， 可導(dǎo),Slide 128,解的充要條件,I、,II、,III、,根據(jù)Kuhn-Tucker條件,Slide

46、 129,Ch 1.3.2 解的充要條件,偏好的嚴(yán)格單調(diào)性,（幾乎處處成立）,內(nèi)點(diǎn)解必要條件,Slide 130,Ch 1.3.2 解的充要條件,定理1.4：內(nèi)點(diǎn)解必要條件的充分性如果效用函數(shù)連續(xù)擬凹，在 可導(dǎo)，而且 ， 。那么滿(mǎn)足以下必要條件的解一定是消費(fèi)者的效用最大化解。,,,Slide 131,Ch 1.3.2 解的充要條件,擬凹,設(shè),有：,證明,Slide 132,Ch 1.3

47、.2 解的充要條件,,即,連續(xù)性,,——與u(x)擬凹性矛盾,Slide 133,Ch 1.3.2 解的充要條件,定理1.5：需求函數(shù)的可微性設(shè) 為在 下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。如果有 在 點(diǎn)上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。,是 上的二階連續(xù)可微函數(shù),,Slide 134,例,Slide 135,角點(diǎn)解,,Slide 136,角點(diǎn)解

48、,擬線性偏好,,,,,,Slide 137,角點(diǎn)解,線性偏好,,,,,,,,2,4,4,2,,x1,Slide 138,角點(diǎn)解,Slide 139,角點(diǎn)解,1、,2、,Slide 140,角點(diǎn)解,3、,Slide 141,作業(yè)3,1.20、1.22、1.23、1.24、1.25、1.26、1.27,Ch 1.4 間接效用與支出,Slide 143,數(shù)學(xué)基礎(chǔ),值函數(shù)（Value function）,MP：,,Slide 144,最大化定理

49、,如果目標(biāo)函數(shù)與約束條件關(guān)于參數(shù)是連續(xù)的,并且如果定義域是一個(gè)緊集,那么,M(a)與x(a)是參數(shù)a的連續(xù)函數(shù).進(jìn)一步,如果目標(biāo)函數(shù),約束條件與解均對(duì)參數(shù)可微,則有包絡(luò)定理.,Slide 145,包絡(luò)定理（定理A2.21）,（MP）中，如果f(·),g(·)對(duì)a連續(xù)可微， 并且對(duì)任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對(duì)a可微。 為該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)，

50、 是滿(mǎn)足kuhn-Tucker條件的解。那么有 （等式右邊表示拉格朗日函數(shù)關(guān)于參數(shù)aj的偏導(dǎo)數(shù)，它在點(diǎn)（x(a)，(a)）處取值 ）,,,Slide 146,包絡(luò)定理的含義,定理說(shuō)明了如下情況：當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（并且假設(shè)因此變化而使整個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題被重新賦值），它對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化值產(chǎn)生的總效應(yīng)可用如下方式來(lái)推導(dǎo)：給拉格朗日函數(shù)求參數(shù)的

51、偏導(dǎo)數(shù)，并接著可在原問(wèn)題的一階庫(kù)恩-塔克條件的解處給該導(dǎo)數(shù)取值。證明：略,Slide 147,1.4.1 間接效用函數(shù),Slide 148,1.4.1 間接效用函數(shù),定義在消費(fèi)集上的效用函數(shù),直接效用函數(shù) u(x),定義在(p,y)上的函數(shù),間接效用函數(shù) v(p,y),——當(dāng)價(jià)格、收入變化時(shí)，消費(fèi)者福利會(huì)發(fā)生怎樣的變化？,Slide 149,1.4.1 間接效用函數(shù),性質(zhì)1：在 上連續(xù),最大化定理,約束函數(shù)是p

52、, y的連續(xù)函數(shù),性質(zhì)2：是(p,y)的0次齊次函數(shù),Slide 150,1.4.1 間接效用函數(shù),性質(zhì)3、4：是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)，p 的遞減函數(shù)。證明：構(gòu)建拉格朗日函數(shù)令 為最大化問(wèn)題的解，則根據(jù)拉格朗日定理得出存在一個(gè) 使得下式成立： 易得 >0,,,,,,Slide 151,性質(zhì)3、4,根據(jù)包絡(luò)定理,因此v(p,y)關(guān)于y是遞增的.同樣根

53、據(jù)包絡(luò)定理有:因此v(p,y)關(guān)于p是遞減的.,Slide 152,1.4.1 間接效用函數(shù),性質(zhì)5：是 (p,y) 的擬凸函數(shù),擬凸,令,Slide 153,1.4.1 間接效用函數(shù),假設(shè)不成立，那么,即,,—與,矛盾,,,,,Slide 154,性質(zhì)6: Roy恒等式：,消費(fèi)者對(duì)物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數(shù)關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)與其關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)的比率的負(fù)數(shù)。根據(jù)包絡(luò)定理，根據(jù)性質(zhì)3，有,,,,,Slide 155,1

54、.4.1 間接效用函數(shù),例,Slide 156,1.4.2 支出函數(shù),在給定價(jià)格(p1,p2)下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，至少需要多少預(yù)算（支出）？,,,,u,x1,x2,u(x1,x2)=u,等支出線,,,,Slide 157,1.4.2 支出函數(shù),支出最小化問(wèn)題 (EMP),——希克斯需求函數(shù),,Slide 158,1.4.2 支出函數(shù),?？怂剐枨蠛瘮?shù) xh(p,u)在價(jià)格p下，實(shí)現(xiàn)效用水平u，支出最小的消費(fèi)束。,Slide 159,,,

55、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x1,x2,xh,補(bǔ)償需求曲線,,,,,,,,Slide 160,Hicksian demand function,對(duì)于不同的無(wú)差異曲線，——對(duì)于不同的效用水平，有不同的?？怂剐枨笄€，它們中的每一個(gè)的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條希克斯需求曲線上的每一點(diǎn)，其給消費(fèi)者帶來(lái)的效用都相等。顯然，在給定價(jià)格體系p和效用水平U(x)之后，相應(yīng)的?？怂剐枨蟛灰?jiàn)得存在，即使存在，也不見(jiàn)得唯一，

56、要使其具有存在性和唯一性，還須運(yùn)用相應(yīng)的假設(shè)。,Slide 161,1.4.2 支出函數(shù),支出最小化問(wèn)題解的存在性、唯一性支出函數(shù)的性質(zhì),Slide 162,存在性定理,設(shè)消費(fèi)集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，則對(duì)任何價(jià)格向量 及任何 ，都有 （即希克斯需求集合非空）。因此理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫谴嬖诘?。,,,,Slide 163,唯一性定理,設(shè)消費(fèi)集X

57、是凸集, ?是連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好,則對(duì)于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價(jià)格體系p和消費(fèi)向量 ,希克斯需求集合 中最多只有一種消費(fèi)方案.因此,理性消費(fèi)者的?？怂剐枨笫俏ㄒ坏?,,Slide 164,存在性定理的證明,是連續(xù)函數(shù),是連續(xù)函數(shù),是閉集,,Slide 165,續(xù),?E有下界,是閉集,2.,1.,?存在最小值，即,Slide 166,唯一性定理的證明,u(x)是

58、嚴(yán)格擬凹函數(shù),假設(shè)x1, x2都是EMP的最優(yōu)解,?u(xt)>u,p·xt=p·x2=e,?存在ku,?p·kxt<e,如果偏好滿(mǎn)足假設(shè)1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一,證明：,u(x)是連續(xù)函數(shù),—與假設(shè)矛盾,Slide 167,支出函數(shù)e(p,u)的性質(zhì),如果u(.)是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的,那么由最小值函數(shù)定義的e(p,u)則是:性質(zhì)1：當(dāng)效用水平取最低值時(shí)，支出函數(shù)值為0。,偏好（嚴(yán)格）遞增?

59、,性質(zhì)2：在 是連續(xù)函數(shù)(最大化定理),Slide 168,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)3:對(duì) ,是u的嚴(yán)格遞增函數(shù)，而且無(wú)上界。證明:,假設(shè)非嚴(yán)格遞增，令u1<u2,記x1＝xh(p,u1), x2 ＝xh(p,u2),——與x1＝xh(p,u1)矛盾,,Slide 169,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)3：證明（微分方法：包絡(luò)定理）,假設(shè)1.,而且可微,u(·)

60、可微,u(·)連續(xù)，嚴(yán)格遞增性,,,2.,I.,,,,,,,Slide 170,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),根據(jù)拉格朗日定理，必然存在一個(gè)λ*，使得：由于 u(x)是遞增的, ,所以λ*>0根據(jù)包絡(luò)定理：性質(zhì)4：支出函數(shù)是價(jià)格的遞增函數(shù)。,,,,,Slide 171,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)5：價(jià)格的一次齊次函數(shù),Slide 172,1.4.

61、2.2 支出函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)6：是價(jià)格的凹函數(shù),證明：,,,,Slide 173,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)7:Shephard lemma證明見(jiàn)性質(zhì)4.,Slide 174,1.4.2.2 支出函數(shù)性質(zhì),例:求與 對(duì)應(yīng)的支出函數(shù) 解: 求拉格朗日函數(shù)的一階條件并消去 ,得到

62、 ,于是可得支出函數(shù),Slide 175,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,定義?,定義?,（1.17）,（1.16）,1、,2、,Slide 176,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,支出最小化→要達(dá)到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時(shí)效用最大取值為u →支出為y時(shí)總能實(shí)現(xiàn)效用u →y 最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能達(dá)到的最大效用是u支出最小化→實(shí)現(xiàn)效用u的最小開(kāi)支取值

63、為e(p,u) →當(dāng)開(kāi)支取值為e時(shí)總能實(shí)現(xiàn)u →開(kāi)支取值為e(p,u)時(shí)帶來(lái)的效用v(p,y) u,,Slide 177,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,定理1.8：假設(shè) 連續(xù)且嚴(yán)格遞增，如果 和 分別是消費(fèi)者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，那么，對(duì) 有：,,Slide 178,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,,

64、假設(shè),e(·)連續(xù)性,(1.17)? 這是不可能的,證明：,v(·)是y的嚴(yán)格遞增函數(shù),,,,,Slide 179,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,,（1.17）:,假設(shè),證明：,v(·)連續(xù)?,這是不可能的,Slide 180,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,定理1.9：馬歇爾需求與希

65、克斯需求的對(duì)偶性在假設(shè)1.2下，對(duì)于所有有:,Slide 181,1.4.3 間接效用與支出函數(shù)的關(guān)系,,,證明：,定理1.8?,Slide 182,對(duì)偶性的內(nèi)涵,從表面上看,效用最大化的馬歇爾需求沒(méi)有考慮支出最小化的問(wèn)題,支出最小化的?？怂剐枨鬀](méi)有考慮效用最大化的問(wèn)題,但事實(shí)并非如此.馬歇爾需求與希克斯需求是互相一致的,或者說(shuō),效用最大化蘊(yùn)涵著支出最小化,支出最小化也蘊(yùn)涵著效用最大化.因此,消費(fèi)最優(yōu)選擇不僅可以看做一個(gè)選擇與

66、預(yù)算線相切的最高無(wú)差異曲線的問(wèn)題,也可以看做是一個(gè)選擇與既定的無(wú)差異曲線相切的最低預(yù)算線的問(wèn)題.,1.5 需求函數(shù)性質(zhì),,Slide 184,Relative prices and real income.,relative price prices the good by some other good, not money.real income is the maximum number of units the consum

67、er can consume if he spends all his money income.,,,Slide 185,1.5 需求函數(shù)的性質(zhì),定理1.10 :0次齊次和預(yù)算平衡在假設(shè)1.2下 x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數(shù)x(tp,ty)＝ x(p,y) for all t>0滿(mǎn)足預(yù)算平衡：p· x(p,y) =y,Slide 186,1.5 需求函數(shù)的性質(zhì),相對(duì)價(jià)格形式令x(p,y)

68、=x(tp,ty),相對(duì)價(jià)格：,實(shí)際收入：對(duì)n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個(gè)相對(duì)價(jià)格與消費(fèi)者的實(shí)際收入。,,Slide 187,1.5.2 收入效應(yīng)與替代效應(yīng),希克斯分解替代效應(yīng)(SE)：在保持消費(fèi)者最大化效用不變前提下，相對(duì)價(jià)格變化所引起的需求量的變化。收入效應(yīng)(IE)：總效應(yīng)(TE)與替代效應(yīng)的差。,TE=SE+IE,Slide 188,1.5.2 收入效應(yīng)與替代效應(yīng),Slide 189,1.5.2 收入效應(yīng)與替代