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1、27.2.1 相似三角形的判定 相似三角形的判定 第 3 課時(shí) 課時(shí) 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似1.理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”的含義,能分清條件和結(jié)論,并能用文字、圖形和符號(hào)語言表示;(重點(diǎn))2.會(huì)運(yùn)用“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判定兩個(gè)三角形相似,并解決簡單的問題.(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入利用刻度尺和量角器畫兩個(gè)三角形,使它們的兩條對應(yīng)邊成比例,并且夾角相等
2、.量一量第三條對應(yīng)邊的長,計(jì)算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比是否相等.另兩個(gè)角是否對應(yīng)相等?你能得出什么結(jié)論?二、合作探究探究點(diǎn):兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似【類型一】 直接利用判定定理判定兩個(gè)三角形相似已知:如圖,在△ABC 中,∠C=90°,點(diǎn) D、E 分別是 AB、CB 延長線上的點(diǎn),CE=9,AD=15,連接 DE.若 BC=6,AC=8,求證:△ABC∽△DBE.解析:首先利用勾股定理可求出 AB 的長,再由已知
3、條件可求出 DB,進(jìn)而可得到DB∶AB 的值,再計(jì)算出 EB∶BC 的值,繼而可判定△ABC∽△DBE.證明:∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB= =10,∴ BC2+AC2DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又∵EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又∵∠DBE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DBE.方法總結(jié):解本題時(shí)一定要
4、注意必須是兩邊對應(yīng)的夾角才行,還要注意一些隱含條件,如公共角、對頂角等.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 2 題【類型二】 添加條件使三角形相似如圖,已知△ABC 中,D 為邊 AC 上一點(diǎn),P 為邊 AB 上一點(diǎn),AB=12,AC=8,AD=6,當(dāng) AP 的長度為________時(shí),△ADP 和△ABC 相似.得 AD= ,∴CD=AD+AC= +3= .103103193方法總結(jié):利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計(jì)算
5、時(shí),應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過作輔助線構(gòu)造相似三角形,然后利用相似三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 7 題【類型五】 利用相似三角形的判定解決動(dòng)點(diǎn)問題如圖,在△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,點(diǎn) P 從 B 出發(fā),沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移動(dòng),與此同時(shí)點(diǎn) Q 從 C 出發(fā),沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移動(dòng),經(jīng)過多長時(shí)
6、間△ABC 和△PQC 相似?解析:由 AC 與 AB 的關(guān)系,設(shè)出 AC=3xcm,AB=5xcm,在直角三角形 ABC 中,利用勾股定理列出關(guān)于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,進(jìn)而得到 AB 與 AC 的長.然后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ts,根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出 PC 與 CQ 的長,由△ABC 和△PQC 相似,根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)不同分兩種情況列出比例式,把各邊的長代入即可得到關(guān)于 t的方程,求出方程的解即可得到 t 的值,
7、從而得到所有滿足題意的時(shí)間 t 的值.解:由 5AC-3AB=0,得到 5AC=3AB,設(shè) AB 為 5xcm,則 AC=3xcm,在 Rt△ABC中,由 BC=8cm,根據(jù)勾股定理得 25x2=9x2+64,解得 x=2 或 x=-2(舍去),∴AB=5x=10cm,AC=3x=6cm.設(shè)經(jīng)過 t 秒△ABC 和△PQC 相似,則有 BP=2tcm,PC=(8-2t)cm,CQ=tcm,分兩種情況:①當(dāng)△ABC∽△PQC 時(shí),有 =
8、,即 = ,解得 tBCQCACPC8t68-2t= ;②當(dāng)△ABC∽△QPC 時(shí),有 = ,即 = ,解得 t= .綜上可知,經(jīng)過 或3211ACQCBCPC6t88-2t125125秒△ABC 和△PQC 相似.3211方法總結(jié):本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對應(yīng)頂點(diǎn)不同,分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC 分別列出比例式來解決問題.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 8 題三、板書設(shè)計(jì)1.三角形相似的判
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