一類三角多項(xiàng)式曲線的擴(kuò)展及形狀分析

1、I 學(xué)校代碼：10406 分類號(hào)：TP391.4 學(xué)號(hào)：090070102003 南昌航空 南昌航空 南昌航空 南昌航空大學(xué) 大學(xué) 大學(xué) 大學(xué) 碩 碩 碩 碩 士 士 士 士 學(xué) 學(xué) 學(xué) 學(xué) 位 位 位 位 論 論 論 論 文 文 文 文 （學(xué)位研究生） 一類 一類 一類 一類 三角多項(xiàng)式曲線 三角多項(xiàng)式曲線 三角多項(xiàng)式曲線 三角多項(xiàng)式曲線的擴(kuò)

2、展 的擴(kuò)展 的擴(kuò)展 的擴(kuò)展 及形狀分析 及形狀分析 及形狀分析 及形狀分析 碩士研究生： 徐迎博 導(dǎo) 師： 喻德生 教授 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 碩 士 學(xué)科、專業(yè)： 計(jì)算數(shù)學(xué) 所在單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 答辯日期： 2012 年 6 月 授予學(xué)位單位： 南昌航空大學(xué) I 摘 要 三角多項(xiàng)式曲線的造型和形狀分析是近年來(lái)計(jì)算幾何研究的熱點(diǎn)問(wèn)題， 它有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。 在實(shí)

3、際造型中， 經(jīng)常需要對(duì)已經(jīng)生成的曲線進(jìn)行一些局部的微調(diào)， 但當(dāng)控制頂點(diǎn)不動(dòng)時(shí)， 單形狀參數(shù)的曲線在局部微調(diào)方面有很大的局限性。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要判斷曲線上有無(wú)奇拐點(diǎn)，并避免出現(xiàn)多余的奇點(diǎn)或拐點(diǎn)， 因此對(duì)曲線奇拐點(diǎn)的研究有助于在造型中有效地控制曲線的形狀。 而目前對(duì)于三角多項(xiàng)式曲線奇拐點(diǎn)的研究并不多， 并且大多采用代數(shù)方法，結(jié)果不是很直觀。為此，本文首先構(gòu)造了一類帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式曲線及其擴(kuò)展曲線，并對(duì)這兩類曲線的性質(zhì)、

4、拼接和應(yīng)用進(jìn)行了深入的研究；其次， 利用拓?fù)溆成浜桶j(luò)理論對(duì)類三次和類四次三角多項(xiàng)式 Bézier 曲線的奇拐點(diǎn)進(jìn)行了研究。本文的主要工作如下： 第一章主要論述了三角多項(xiàng)式曲線的發(fā)展歷史、 研究現(xiàn)狀及其在曲線造型中的應(yīng)用； 總結(jié)了曲線形狀分析的方法和它們優(yōu)缺點(diǎn)， 論述了曲線形狀分析的意義。此外，還簡(jiǎn)要地介紹了一下本文研究的主要內(nèi)容。 第二章主要介紹了一類帶參的三角多項(xiàng)式曲線的定義、 性質(zhì)， 為后面章節(jié)的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

5、第三章給出了帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式曲線及其擴(kuò)展曲線的定義和性質(zhì)， 研究了一般情況下兩段帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角 Bézier 曲線及兩段擴(kuò)展曲線的拼接問(wèn)題，得到了 1 1 2 2 ( ), ( ) G C G C 光滑拼接的充要條件。同時(shí)，還討論了它們?cè)谇€造型中的應(yīng)用。 第四章研究了二次三角多項(xiàng)式 Bézier 曲線奇拐點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題。 根據(jù)控制多邊形邊向量之間的相對(duì)位置關(guān)系， 先通過(guò)計(jì)算推理得到了空間曲線奇拐

6、點(diǎn)的一個(gè)結(jié)論；再利用包絡(luò)理論和拓?fù)溆成涞姆椒?，得到了平面曲線上含有尖點(diǎn)、拐點(diǎn)和重結(jié)點(diǎn)以及曲線全局凸和局部凸的充要條件，并用實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，還討論了形狀參數(shù)對(duì)uv ? 平面上形狀分區(qū)圖的影響。 第五章研究了一類控制多邊形下平面類四次三角 Bézier 曲線的奇拐點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，得到了在此類控制多邊形下，曲線出現(xiàn)奇點(diǎn)、拐點(diǎn)及為凸曲線的充要條件，給出了uv ? 平面上的形狀分區(qū)圖。此外，還討論了形狀參數(shù)對(duì)形狀分區(qū)圖的影響及對(duì)曲線