《一階微分方程的解法探討》文獻綜述

1、一階微分方程的解法探討的文獻綜述陳棋（數(shù)學與應用數(shù)學系 指導教師：柳志千）一、研究背景及動態(tài)微分方程是一門十分活躍的數(shù)學分支.利用數(shù)學手段研究自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，或解決工程技術問題，往往需要借助微分方程的知識，它是人們解決各種實際問題的有效工具.這些應用也為微分方程的進一步發(fā)展提出了新的問題，促使人們對微分方程進行更深入的研究.而一階微分方程的解法是微分方程的基礎，對其的解法進行探討有助于獲得解決微分方程的數(shù)學方法.《常微分方程》

2、作為數(shù)學系各專業(yè)的一門應用性較強的專業(yè)基礎課，它對訓練學生的數(shù)學思維、應用意識和分析與解決實際問題的能力有著極為重要的作用，本課程中介紹了各種特殊一階微分方程的初等積分法.所謂的初等積分法，就是通過初等函數(shù)及其有限次積分的表達式求解微分方程的方法.在微分方程發(fā)展的早期，由牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟以及歐拉等發(fā)現(xiàn)的這些方法與技巧，一直沿用至今.雖然劉維爾在 1841 年證明了大多數(shù)微分方程不能用初等積分法求解，但這些方法至今仍不失其重要性

3、.通過對該課程的學習，我們知道微分方程的解法是多樣的，它沒有通用的解法，這給初學該課程的學生造成了一定的困難，不利于教學的實施，故探討一階微分方程的各種解法及其思想是十分必要的.二、評述對于一階微分方程的解法的探討，已經(jīng)有很多人對這個課題進行了研究，并取得了一定的成果.基于這樣的條件，我選擇這樣的角度進行整理、歸納及總結。一階線性齊次微分方程的一般解法，是先求對應齊次方程的通解，然后應用常數(shù)變易法求解；或者直接利用由常數(shù)變易法得出的通解

4、公式求解；而對于伯努利方程卻是利用變量代換法，將其化成一階線性非齊次方程來求解.文獻[1]中，利用積分方法先推導出伯努利方程的通解公式，把一階線性非齊次方程作為伯努利方程的特例.這種方法把原來需要三種方法簡化為一種方法求解一階線性非齊次方程和伯努利方程，起到刪繁就簡的作用.類似這樣的處理，有利于初學者的學習，起到有利于教學進行的作用.常微分方程就形式總類而言多不勝舉.文獻[2]中，總結了幾類可用變量分離法求解的一階常微分方程.表述如下：

5、等形式的項時，作變量替換永解；形如 方程中 與 均含有 ? ?? ? y x gy x fdxdy,, ? ? ? y x f , ? ? y x g , y x,的冪函數(shù)，且 與 方冪之和相等或可化為 函數(shù)，則此方程可化為齊次方程；利用變量 x y xy替換 （ 適當選?。⒛承┬稳?化為齊次方程；利用變量替換求一階 k l y ? k ? ? y x f dxdy , ?線性方程 的通解，這是與教材不同的處理方法，對同一類型的多種解

6、 ? ? ? ? x Q y x P dxdy ? ?法，有利于思維的發(fā)散.文獻[8]是對一階微分方程特別是卡蒂方程的一些經(jīng)典的可積類型的概括和推廣，進一步拓展了可積范圍.文獻[9]、[10]、[11]都是常微分方程的相關教材，但在處理一階微分方程的解法上有所不同，文獻[9]相對于文獻[10]多了對一階隱式方程的討論，而文獻[11]有專門的章節(jié)對變量替換法進行討論研究.三、結論通過上面對文獻的評述，我們可以看到一階常微分方程是沒有通解的

7、.我們知道不同的方程可能有不同的求解方法，同一種方程也可能有不同的解法，因此，本文主要研究幾類一階微分方程的類型，主要是變量分離的類型和全微分方程類型.其中將所考慮的方程通過適當?shù)淖兞孔儞Q轉化為變量分離的典型方程：齊次方程，一階線性方程和伯努利方程.除了以上求解的一般方法外，還給出了一些特殊類型的一階微分方程的解法，雖然這些類型是有限的，但是它們卻反映了實際問題中出現(xiàn)的微分方程的相當一部分，掌握這些類型的解法具有十分重要的實際意義.參考

8、文獻:[1] 徐進明，林其安．淺談一類一階微分方程的解法[J]．三明高等?？茖W校學報，1999， （1）：14-16．[2] 劉林．一階常微分方程初等解法研究[J]．河套大學學報（自然科學版） ，2006， （1）：13-15．[3] 李祥林．一階常微分方程的初等解法研究[J]．阜陽師范學院學報(自然科學版） ，1996， （2）：39-43．[4] 羅顯康，王雄瑞．變量變換在解一階常微分方程中的應用[J]．宜賓學院學報，2009， （

9、12）：32-34．[5] 王曉玲．關于一階微分方程各類解法的研究[J]．數(shù)學學習與研究，2012， （9） ．[6] 丁飛．一些一階微分方程的解法[J]．中國科教博覽，2004， （12B）：40-41，46．[7] 文武．一些特殊類型的一階微分方程的解法探討[J]．四川文理學院學報，2010， （5） ．[8] 馮錄祥．一類一階常微分方程的推廣及應用[J]．河南科學，2012， （5）：529-531．[9] 王高雄，周之銘，朱思銘