常微分方程第三版復(fù)習(xí)資料

1、第 - 1 - 頁常微分方程2.1 2.11. ,并求滿意初始條件：x=0,y=1 的特解. xy dxdy 2 ?解：對原式進(jìn)行變量分別得, 0 ) 1 ( . 22 ? ? ? dy x dx y 并求滿意初始條件：x=0,y=1 的特解.解：對原式進(jìn)行變量分別得：3 y xy dxdyxy32 1???解：原式可化為：12． 2 ) (1y x dxdy? ?解15． 1 8 ) 1 4 ( ) 1 ( 2 2 ? ? ? ?

2、 ? ? xy y x dxdy16． 2 2 52 622y x xyx ydxdy?? ?解： ，則原方程化為 ，，令 u y x xyx ydxdyx xy yx ydxdy ? ?? ? ? ?? ? 32 32 2 3 32 3 22 2 32] 2 ) [( 32 (2 ) (1 26 326 3 2222 2??? ?? ?xuxux xux udxdu ，這是齊次方程，令第 - 3 - 頁解：設(shè) f(x)=y, 則原方程

3、化為? ?xydt x f01 ) ( 兩邊求導(dǎo)得' 12 yyy ? ?20.求具有性質(zhì) x(t+s)=) ( ) ( 1) ( ) (s x t xs x t x?? 的函數(shù) x(t),已知 x’(0)存在。解：令 t=s=0 x(0)=) 0 ( 1) 0 ( ) 0 (xx x?? =) 0 ( ) 0 ( 1) 0 ( 2x xx? 若 x(0) ? 0 得 x 2=-1 沖突。所以 x(0)=0. x’(t

4、)=) ( 1 )( 0 ( ' ) ( ) ( 1 [)) ( 1 )( ( lim ) ( ) ( lim 22t x x t x t x tt x t xtt x t t x ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ))) ( 1 )( 0 ( ' ) ( 2 t x x dtt dx ? ? dt x t xt dx ) 0 ( ' ) ( 1) (2 ? ? 兩邊積分得 arctg x(t)=x’(

5、0)t+c 所以 x(t)=tg[x’(0)t+c] 當(dāng) t=0 時 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tg[x’(0)t]習(xí)題 習(xí)題 2.2 2.2求下列方程的解1．dxdy = x y sin ?解： y=e ? dx (? x sin e ? ? dx c dx ? )=e x[-21 e x ? ( x x cos sin ? )+c]=c e x-21 ( x x cos sin ? )是原方程的解。2． dt