分數階的級數展開、矢量運算及分數階數理方程.pdf

1、在這篇論文里，我們首先簡單介紹了分數階微積分。微積分推廣到分數階有很多種方法，因而分數階微積分非常繁雜。一階微積分的許多性質在分數階微積分中都不再成立。但是，在分數階微積分中，和微積分基本定理相似的一個定理，分數階微積分基本定理，成立。更明確地說，就是，黎曼-劉維爾分數階積分和卡普托分數階導數互為逆運算。通過這一點，我們定義了分數階的泰勒展開。我們把超幾何方程推廣到分數階，并通過分數階泰勒展開求解，得到了分數階的超幾何級數。
　　

2、 在這篇論文里，我們還討論了分數階矢量運算。在笛卡兒坐標系里進行分數階矢量運算非常繁瑣。我們注意到，分數階積分和求導的定義使得在球坐標系里的分數階矢量運算非常簡單。而且球坐標更自然地適用于點源過程的描述。我們在球坐標系里定義了分數階矢量運算，進而討論了，與矢量運算相關的一些數學物理方程。我們用分數階級數展開的方法求解了3維球對稱空間里的分數階拉普拉斯方程和2維柱對稱空間里的熱傳導方程，分別得到了分數階的勒讓德函數和分數階的貝塞爾函數。