2n階非線性差分方程周期解的存在性.pdf

1、本文主要利用非線性泛函分析中的變分方法，結(jié)合臨界點理論，研究了2階非線性差分方程△n(rt-n△nxt-n)+f(t,xt)=0,n∈Z(3),t∈Z(1.1.1)周期解的存在性與多重性。其中Z(a,b)={a,a+1,Kb},a≤b,△是向前差分算子，即△xt=xt+1-xt,△k+1xt=△(△kxt)。實數(shù)序列rt和非線性項f分別滿足以下條件：(A)對給定的正整數(shù)T，rt+r=rt>0，t∈Z；(B)f∈C(Z×R1→R1)，并且

2、對任意(t,z)∈Z×R1，f(t+T,z)=f(t,z)。全文共分三章：
　　 第一章主要介紹了模型(1.1.1)的研究背景、研究方法等。
　　 第二章導出了問題(1.1.1)所對應(yīng)的能量泛函，從而問題(1.1.1)的解等價于泛函的臨界點，并且介紹了本文所要用到的有關(guān)臨界點的基本理論。
　　 第三章首先利用強單調(diào)映像原理、山路引理等研究了問題(1.1.1)解的存在性與唯一性，得到如下結(jié)論：定理3.1.1假設(shè)f(

3、t,x)在Z×R1上具有關(guān)于第二變元的一階連續(xù)導數(shù)，并且存在c>0，對任意t∈Z，x∈R1，有(e/ex)f(t,x)≥c＞0，則當n=2k時，問題(1.1.1)在Er中有唯一解。定理3.1.2假設(shè)存在常數(shù)β>2，R2>0，使得對任意的|z|≥R2有(-1)nzf(t,z)≤(-1)nβ∫z0f(t,s)ds＜0，則問題(1 1 1)在Er中至少存在一個解。定理3.1.3若存在a>0，c>0，使得對任意(t，z)∈Z×R1，F(xiàn)(t,z)

4、≤-a|Z|2+c；則問題(1 1 1)在Er中至少存在一個解。定理3.1.4假設(shè)下列條件滿足：(1)存在常數(shù)a1>0，a2>0使得對任意的z∈R1有F(t，z)≥a1|Z|≥a1|Z|β-a2；(2)存在δ>0，c>0，當|z|≤δ時，F(xiàn)(t,z)≤c|z|2。則問題(1 1 1)在Er中至少有一個非零解。其次，利用一些多解定理研究了問題(1.1.1)解的多重性，得到如下結(jié)論：定理3.2.1假設(shè)下列條件滿足：(1)lim/z→0(f(

5、t,z)/z)=0(2)存在a>0，c>0，使得對任意(t,z)∈Z×R1，F(xiàn)(t,z)≤-a‖z‖2+c；(3)存在p1>0，使得當0<|z|≤p1時，F(xiàn)(t,z)>0。則問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。定理3.2.2假設(shè)，f(t，u)具有關(guān)于第二變元的一階連續(xù)導數(shù)且f`(t，θ)≠0，如果下列條件滿足：(1)存在a>0，c>0，使得對任意(t，z)∈Z×R1，F(xiàn)(t,z)≤-a|z|2+c；(2)行列式|J"(θ)|≠0

6、；(3)存在δ>0，當0<|z|≤δ，F(xiàn)(t，z)>0。則問題(1.1.1)在ET中至少有兩個非零解。定理3.2.3假設(shè)下列條件滿足：(1)f(t，x)在Z×R1上具有關(guān)于第二變元一階連續(xù)導數(shù)，且對任意x∈R1,存在c>0，使得|(af(t,x)/ax)|≤c；(2)存在常數(shù)a>0使得(lim/‖x‖→0)((∑Tt=1)f(t,xt)xt)/‖x‖2)>a>0并且(lim/‖x‖→∞)((∑T t=1)f(t,xt)xt)/‖x‖2)

7、<-4nV2。則問題(1.1.1)在ET中有三個不同的解。定理3.2.4假設(shè)下列條件滿足：(1)v，∈ET是問題(1.1.1)的一對上下解，并且u<0，β>2，對任意|z|≥R2有(-1)nzf(t，z)≤(-1)nβ∫z0f(t，s)ds<0。則問題(1.1.1)在ET中至少有四個不同的解。定理3.2.5假設(shè)下列條件滿足：(1)，(t，x)=-f(t，x)，x∈R1；(2)存在a>0