二階非線性中立型差分方程始終正解的存在性.pdf

1、微分方程和差分方程的振動性理論是微分方程和差分方程理論的一個十分重要的分支，它們在物理、化學(xué)、生物和許多經(jīng)濟領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景。近年來，有一大批學(xué)者從事這方面的理論研究，取得了一系列較好的結(jié)果. 由于自然界中許多事物隨著時間的變化其量的變化是離散的。所以用差分方程來描述這些現(xiàn)象比用微分方程更貼近于實際。因此，差分方程解的振動性的研究不僅具有重要的理論意義，而且具有較高的實用價值。而差分方程正解的存在性是差分方程的振動性理論的一

2、個重要的研究課題。 在本文中，我們通過引進(jìn)加權(quán)范數(shù)和構(gòu)造適當(dāng)?shù)挠成?，利用Banach壓縮映射原理，給出了二階自共軛非線性中立型差分方程的始終正解存在性的一系列充分條件。 我們考慮二階自共軛非線性中立型差分方程 △(an△(xn-pnxn-τ))+f(n，xn-σ)=0(1) 始終正解的存在性。其中△為前差分算子，即△xn=xn-1-xn，τ、σ≥0為整數(shù)，an＞0、pn為實數(shù)序列，且limn→∞pn=p，

3、p為有限實數(shù)；而f滿足如下條件： (1)f(n，x)關(guān)于x連續(xù)，xf(n，x)＞0，對于x≠0； (2)f對于0≤u，v≤M滿足Lipschitz條件： |f(n，u)-f(n，v)|≤kn|u-v|(2) 我們就以下四種情形： (1)p∈[0，1)； (2)p∈(-1，0)； (3)p∈(-∞，-1)； (4)p∈(1，+∞)。 分別得到了方程(1)始終正解的存在

4、性結(jié)果。主要結(jié)果如下： 定義序列集合X={un∶0≤un≤M，n≥n0；un=un0,n0-r≤n≤n0}，其中M為某個正常數(shù)。 定理1.設(shè)p∈[0，1),pn≤p，且對于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=s(θ,uθ-σ)＜M(1-)(3) 此外存在N＞1使得 Nsks＜1，∞∏s=n0(1-Nsks/(a)s)-1＜∞,0＜(p+1/N)l＜1(4) 其中(a)s=min{aθ，s-r

5、≤θ≤s}，r=max{τ，σ}，l=Sup{G(n-r)/G(n),，n≥n0}，G(n)=∏n-10s=n0(1-Nsks/(a)s)。則方程(1)有一個始終正解xn，滿足limn→∞xn=M。 定理2.設(shè)p∈(-1，0)，p≤pn＜0,且對于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ,uθ-σ)＜M(1+p)(5) 此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜(1/N-p)l＜1)，l同定理1所定義。則方程(1)

6、有一個始終正解xn，滿足limn→∞xn=M/1-p。 定理3.設(shè)p∈(-∞，-1)，pn≤p，且對于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ，uθ-σ)＜M(|p|-1)(6) 此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜1/|p|(1+1/N)＜1)，其中l(wèi)=Sup{G(n-σ)G(n)，，n≥n0}，G(n)同定理1所定義。則方程(1)有一個始終正解xn，滿足limn→∞xn=-pM/1-p。 定理4.