二階非線性中立型差分方程始終正解的存在性.pdf

1、微分方程和差分方程的振動(dòng)性理論是微分方程和差分方程理論的一個(gè)十分重要的分支，它們?cè)谖锢怼⒒瘜W(xué)、生物和許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景。近年來，有一大批學(xué)者從事這方面的理論研究，取得了一系列較好的結(jié)果. 由于自然界中許多事物隨著時(shí)間的變化其量的變化是離散的。所以用差分方程來描述這些現(xiàn)象比用微分方程更貼近于實(shí)際。因此，差分方程解的振動(dòng)性的研究不僅具有重要的理論意義，而且具有較高的實(shí)用價(jià)值。而差分方程正解的存在性是差分方程的振動(dòng)性理論的一

2、個(gè)重要的研究課題。 在本文中，我們通過引進(jìn)加權(quán)范數(shù)和構(gòu)造適當(dāng)?shù)挠成?，利用Banach壓縮映射原理，給出了二階自共軛非線性中立型差分方程的始終正解存在性的一系列充分條件。 我們考慮二階自共軛非線性中立型差分方程 △(an△(xn-pnxn-τ))+f(n，xn-σ)=0(1) 始終正解的存在性。其中△為前差分算子，即△xn=xn-1-xn，τ、σ≥0為整數(shù)，an＞0、pn為實(shí)數(shù)序列，且limn→∞pn=p，

3、p為有限實(shí)數(shù)；而f滿足如下條件： (1)f(n，x)關(guān)于x連續(xù)，xf(n，x)＞0，對(duì)于x≠0； (2)f對(duì)于0≤u，v≤M滿足Lipschitz條件： |f(n，u)-f(n，v)|≤kn|u-v|(2) 我們就以下四種情形： (1)p∈[0，1)； (2)p∈(-1，0)； (3)p∈(-∞，-1)； (4)p∈(1，+∞)。 分別得到了方程(1)始終正解的存在

4、性結(jié)果。主要結(jié)果如下： 定義序列集合X={un∶0≤un≤M，n≥n0；un=un0,n0-r≤n≤n0}，其中M為某個(gè)正常數(shù)。 定理1.設(shè)p∈[0，1),pn≤p，且對(duì)于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=s(θ,uθ-σ)＜M(1-)(3) 此外存在N＞1使得 Nsks＜1，∞∏s=n0(1-Nsks/(a)s)-1＜∞,0＜(p+1/N)l＜1(4) 其中(a)s=min{aθ，s-r

5、≤θ≤s}，r=max{τ，σ}，l=Sup{G(n-r)/G(n),，n≥n0}，G(n)=∏n-10s=n0(1-Nsks/(a)s)。則方程(1)有一個(gè)始終正解xn，滿足limn→∞xn=M。 定理2.設(shè)p∈(-1，0)，p≤pn＜0,且對(duì)于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ,uθ-σ)＜M(1+p)(5) 此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜(1/N-p)l＜1)，l同定理1所定義。則方程(1)

6、有一個(gè)始終正解xn，滿足limn→∞xn=M/1-p。 定理3.設(shè)p∈(-∞，-1)，pn≤p，且對(duì)于任意的u∈X有∞∑s=n01/as∞∑θ=sf(θ，uθ-σ)＜M(|p|-1)(6) 此外，存在N＞1使得(4)成立，且0＜1/|p|(1+1/N)＜1)，其中l(wèi)=Sup{G(n-σ)G(n)，，n≥n0}，G(n)同定理1所定義。則方程(1)有一個(gè)始終正解xn，滿足limn→∞xn=-pM/1-p。 定理4.