第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程的超收斂技術(shù).pdf

1、本文旨在研究Volterra積分方程的機(jī)械求積法及其超收斂技術(shù)。眾所周知，由于第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程存在不適定性、核奇異性、解在初始點(diǎn)不光滑性，所以盡管已有眾多文獻(xiàn)研究，但迄今為止仍無(wú)成熟算法。本文擬給出解第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程的高精度、低復(fù)雜度、低存貯量的算法，并且可以通過(guò)外推或組合技巧等加速收斂技術(shù)以提高精度。該方法具有后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)功能，即可以在計(jì)算過(guò)程中檢驗(yàn)計(jì)算精度是否達(dá)到要求以便構(gòu)造自適應(yīng)算法

2、。本文算法將會(huì)使得具有奇異解的第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程的計(jì)算復(fù)雜度大為改善，精度大為提高，抗噪性大為增強(qiáng)，程序更容易實(shí)現(xiàn)。 本文首次從理論和方法上論述了解Volterra積分方程，尤其是第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程的機(jī)械求積法及其外推和組合算法的可行性。由于第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程是不適定問(wèn)題，它的核是奇異的，解通常是非光滑的甚至是奇異的，所以本文提供的方法具有很高的理論與實(shí)用價(jià)值。本文首次綜合了

3、以下方法求解第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程： (1)避開(kāi)求解不適定問(wèn)題，把第一類(lèi)弱奇異Volterra積分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有連續(xù)核與光滑右端函數(shù)的第二類(lèi)Volterra積分方程，但是核和右端函數(shù)都是由弱奇異積分表示； (2)利用周期化方法與修正梯形公式得到了核與右端函數(shù)的高精度逼近值； (3)利用光滑變換消除了解的非光滑性或奇異性； (4)構(gòu)造機(jī)械求積法得到了解的高精度逼近； (5)證明了誤

4、差擁有h<'2>漸近展開(kāi)式，從而能夠經(jīng)過(guò)一次Richardson-h<'2>外推將精度提高到O(hh<'2>)； (6)利用組合技巧提高了近似解的精度； (7)給出了外推與組合算法的后驗(yàn)估計(jì)。 實(shí)算表明若對(duì)核與右端函數(shù)不采用周期化方法，則所構(gòu)造的梯形求積法與中矩形求積法得到的近似解的精度都不到O(h<'2>)，但是從兩者的漸近展開(kāi)式出發(fā)，可以利用組合技巧來(lái)提高精度，使近似解的精度達(dá)到了O(h<'2>)．理論與算例

5、表明外推法與組合算法都具有提高精度，降低計(jì)算復(fù)雜度，減少存貯量和自適應(yīng)計(jì)算能力以及后驗(yàn)誤差估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)．相比較而言外推法得到的精度更高，為O(h<'2>)，事實(shí)上繼續(xù)利用Richardson-h<'3>外推還可以進(jìn)一步提高精度；而組合算法的優(yōu)點(diǎn)在于是組合同一步長(zhǎng)不同計(jì)算方法相同復(fù)雜度的兩個(gè)子問(wèn)題的結(jié)果，可以并行計(jì)算，進(jìn)一步節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。 如果右端函數(shù)存在噪音，則實(shí)算表明本文方法的抗噪性仍?xún)?yōu)于其它方法，只要噪音干擾足夠小，外推和組

6、合算法也可用。 本文將美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型-拋物型方程的自由邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性的第二類(lèi)Volterra積分方程，該積分方程的求解也是很困難的．本文運(yùn)用機(jī)械求積法給出了積分方程的數(shù)值解，得到了帶連續(xù)紅利的美式看漲期權(quán)價(jià)格及其執(zhí)行邊界的數(shù)值解．計(jì)算過(guò)程表明，我們的機(jī)械求積法具有計(jì)算量小，存貯量少，計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果也與其他文獻(xiàn)中的定性分析相吻合。 本文還考慮了一類(lèi)函數(shù)積分方程，這類(lèi)方程包含多種經(jīng)典積分方程作