具有有限譜的微分方程邊值問(wèn)題及其矩陣表示.pdf

1、本文主要圍繞具有有限譜的微分方程邊值問(wèn)題(包括四階問(wèn)題；2n階問(wèn)題；帶有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題；帶有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件中含有譜參數(shù)的Sturm-Liouville問(wèn)題等)，以及這些問(wèn)題與有限維矩陣特征值問(wèn)題之間的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行研究。
　　 1964年，Atkinson在其著名的專(zhuān)著“DiscreteandContinuousBoundaryValueProblems”[2]中提出了二階的Sturm-Liouv

2、ille問(wèn)題-(py′)′+qy=Awy(在J=(a，b)上定義，其中-∞

3、，他們還得出了這m個(gè)特征值在非自共軛邊界條件下可位于復(fù)平面內(nèi)任何位置，在自共軛邊界條件下可位于實(shí)軸上任何位置的結(jié)論.在2009年，Kong，Volkmer，Zettl[39]在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出此類(lèi)問(wèn)題的矩陣表示(即具有有限譜的二階Sturm-Liouville問(wèn)題與有限維矩陣特征值問(wèn)題之間的等價(jià)關(guān)系).這說(shuō)明兩類(lèi)問(wèn)題之間在某些特殊情況下可以相互“轉(zhuǎn)化”，從而對(duì)其中任一類(lèi)問(wèn)題豐富了研究的理論方法。
　　 本文在以上結(jié)論的

4、基礎(chǔ)上，將具有有限譜的微分方程邊值問(wèn)題的結(jié)論，以及對(duì)應(yīng)的矩陣表示問(wèn)題推廣到四階邊值問(wèn)題，甚至是2n階邊值問(wèn)題，以及帶有轉(zhuǎn)移條件的或邊界條件中含有譜參數(shù)的Sturm-Liouville問(wèn)題上去。
　　 首先，我們研究了具有有限譜的四階邊值問(wèn)題.我們通過(guò)對(duì)區(qū)間的特殊分割以及系數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上滿足一定的特殊條件，得出判斷函數(shù)的迭代公式，從而可以得出判斷函數(shù)是關(guān)于譜參數(shù)λ的有限次多項(xiàng)式的結(jié)果.然后根據(jù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)就是問(wèn)題本身特征值的性

5、質(zhì)，得出四階邊值問(wèn)題存在有限個(gè)特征值的結(jié)論.由于階數(shù)的增加，問(wèn)題也變得相當(dāng)復(fù)雜.通過(guò)大量的分析和推導(dǎo)，我們提出了適合四階邊值問(wèn)題有限譜結(jié)論的條件并給出了四階邊值問(wèn)題判斷函數(shù)的迭代公式，這是解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵；進(jìn)一步，我們又考察了具有有限譜的2n階邊值問(wèn)題，將判斷函數(shù)的迭代公式從數(shù)學(xué)歸納法的角度進(jìn)行了推廣，并且得出了邊值問(wèn)題的最大特征值個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)以及對(duì)區(qū)間的分割數(shù)之間的關(guān)系。
　　 由于不論是微分方程邊值問(wèn)題還是矩陣特征值問(wèn)

6、題都有其實(shí)際的應(yīng)用背景，因此清楚地了解在某些特殊情況下兩者之間的關(guān)系，不論是從理論上還是在應(yīng)用上都是有重要意義的，因此，我們研究了具有有限譜的四階邊值問(wèn)題與有限維矩陣特征值問(wèn)題之間的等價(jià)關(guān)系.通過(guò)對(duì)一類(lèi)稱(chēng)作為Atkinson類(lèi)型的四階邊值問(wèn)題的研究，我們給出了其矩陣表示.同樣由于階數(shù)的增加，矩陣形式也變得復(fù)雜，為此我們提出了塊矩陣的概念，得出四階邊值問(wèn)題的矩陣表示在塊矩陣意義下為三對(duì)角形式.不僅如此，這些矩陣還具有對(duì)稱(chēng)形式的良好特性。<

7、br>　　 同時(shí)本文還研究了一類(lèi)為很多數(shù)學(xué)、物理工作者所關(guān)注的具有某種“不連續(xù)性”的微分算子，即內(nèi)部點(diǎn)處具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題.我們考察了具有有限譜的帶有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題及其矩陣表示問(wèn)題.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，我們引入了與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)矩陣的概念，給出了帶有轉(zhuǎn)移條件的判斷函數(shù)的迭代公式，從而證明了特征值個(gè)數(shù)的有限性.而且，由于轉(zhuǎn)移條件的出現(xiàn)，特征值的個(gè)數(shù)將會(huì)受到影響，我們給出例子，說(shuō)明了有限

8、譜的結(jié)論及其與轉(zhuǎn)移條件的關(guān)系；在考慮這類(lèi)問(wèn)題的矩陣表示時(shí)，不僅考慮了分離型邊界條件的情況，還考慮了耦合型邊界條件的情況，只是由于轉(zhuǎn)移條件的出現(xiàn)，矩陣不再是Jacobi或循環(huán)Jacobi矩陣形式，我們引入了‘幾乎Jacobi’矩陣的概念，它是一類(lèi)廣義Jacobi矩陣。
　　 最后，文章還研究了一類(lèi)邊界條件中含有譜參數(shù)的Sturm-Liouville問(wèn)題，考慮這類(lèi)問(wèn)題的有限譜及矩陣表示問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的特征值個(gè)數(shù)也會(huì)受到譜參數(shù)邊界條件

9、的影響，且矩陣表示中的矩陣為一類(lèi)廣義Jacobi矩陣。
　　 全文共分為八個(gè)部分：一、本文所研究問(wèn)題的背景與本文的主要結(jié)果；二、具有有限譜的四階微分方程邊值問(wèn)題；三、具有有限譜的四階微分方程邊值問(wèn)題的矩陣表示；四、具有有限譜的2n階微分方程邊值問(wèn)題；五、具有有限譜的帶有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題；六、具有有限譜的帶有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的矩陣表示；七、具有有限譜的帶有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件中