幾類時滯偏微分方程解的漸近行為研究.pdf

1、本篇博士論文主要研究如下三類帶有時滯項(xiàng)的發(fā)展方程解的漸近行為:
　　(1)帶有時滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程(此處公式省略)
　　(2)帶有時滯項(xiàng)的p-Laplacian方程（此處公式省略）
　　(3)帶有時滯項(xiàng)的弱耗散波方程（此處公式省略）
　　其中τ∈ R,常數(shù)η>0。g是作用在帶有某種遺傳特征的解上的算子。k(·)是依賴于時間的外力項(xiàng),?是區(qū)間[τ?h,τ]上的函數(shù)。h(>0)是時滯影響的長度,且對任給的t≥τ

2、,我們用 ut表示定義在[?h,0]上,滿足 ut(θ)=u(t+θ)(其中θ∈[?h,0])的函數(shù).
　　本文的主要工作是對上述三類帶有時滯項(xiàng)的發(fā)展方程在非線性項(xiàng)f滿足臨界或某種超臨界增長時建立拉回吸引子的存在性。
　　論文共分為六章:
　　在第三章,我們對帶有時滯項(xiàng)的非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性問題作了系統(tǒng)的討論.非經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程可以說是介于拋物方程和波方程之間的一類特殊方程,如果對這類方程加上擾動系數(shù),

3、則可以把拋物方程和波方程聯(lián)系起來,從而研究其動力學(xué)行為有著特殊的意義.在這一章,我們考慮非線性項(xiàng)f滿足臨界增長和任意p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長兩種情形.當(dāng)f滿足臨界增長時,我們通過設(shè)計特殊的分解來克服臨界指數(shù)和時滯項(xiàng)g(t。ut)所帶來的困難,得到過程{U(t,τ)}t≥τ在 CH10(?)上的漸近緊性;當(dāng) f為任意 p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長時,我們首先運(yùn)用 Faedo-Galerkin方法證明解的存在唯一性,然后構(gòu)造具體的能量不

4、等式來驗(yàn)證過程{U(t,τ)}t≥τ在 CH10(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)上拉回吸引子的存在性。
　　在第四章,我們考慮帶有時滯項(xiàng)的p-Laplacian方程,其中非線性項(xiàng)f滿足任意p?1(p≥2)次多項(xiàng)式增長. p-Laplacian方程為一類強(qiáng)耗散拋物方程,其主部算子為擬線性。由于時滯項(xiàng)g(t。ut)的非自治固有性,以及非自治外力項(xiàng)k(·)的時間相關(guān)性,使得許多對于半線性拋物方程適用的方法、

5、技巧不能再直接應(yīng)用,從而我們在研究該問題,尤其是在驗(yàn)證其解過程{U(t,τ)}t≥τ的緊性時遇到較大的困難.在這一章,我們首先建立解的適定性,然后通過構(gòu)造特殊的能量泛函來驗(yàn)證相應(yīng)過程{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CL2(?)上拉回吸引子的存在性。
　　在第五章,我們研究帶有時滯項(xiàng)的弱耗散波方程,其中非線性項(xiàng)f滿足臨界增長.弱耗散波方程,尤其是帶有臨界非線性項(xiàng)的弱耗散波方程是一類典型的

6、弱耗散方程,無窮維動力系統(tǒng)理論、方法發(fā)展過程中許多經(jīng)典的工作都是將其作為研究對象來提出的,我們研究其動力學(xué)行為同樣具有重要的意義.在這一章,我們通過構(gòu)造能量泛函并結(jié)合收縮函數(shù)方法的思想證明過程{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)× CL2(?)上的緊性,從而得到{U(t,τ)}t≥τ在CH10(?)× CL2(?)上拉回吸引子的存在性。
　　最后,在第六章,基于所取得的研究成果,作為對所研究問題后續(xù)發(fā)展的思考,我們列出部分我們將