幾類非線性偏微分方程的行波解分類.pdf

1、非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，無論在理論中還是在實(shí)際應(yīng)用中，非線性偏微分方程可被用來描述力學(xué)、控制過程、光纖通信等領(lǐng)域的非線性問題。偏微分方程行波解的研究已成為國內(nèi)外研究的重要課題之一，行波解在揭示波的產(chǎn)生條件、解釋奇特的自然現(xiàn)象等方面有著極大的科研價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。
　　本學(xué)位論文對(duì)幾個(gè)非線性偏微分方程的行波解進(jìn)行了研究，改進(jìn)了一種定性分析方法，在方程的不同參數(shù)區(qū)間得到了這幾個(gè)方程可能存在的所有孤立波。根據(jù)行波解存在的

2、條件，考慮方程中各個(gè)參數(shù)對(duì)方程解形成的影響以及解之間的極限行為。分類結(jié)果顯示所研究的系統(tǒng)中不僅具有周期解、衰減的光滑解、cuspon解和peakon解等，而且還具有一些特殊形式的解，如雙扭基解、蝴蝶波解和雙孤子解。
　　第一章介紹了孤立子理論的研究背景，研究方法和研究現(xiàn)狀。
　　第二章利用改進(jìn)的定性分析方法研究了帶有組合色散項(xiàng)的薛定諤方程的行波解。分析了方程中線性色散項(xiàng)和非線性色散項(xiàng)對(duì)方稱程行波解的影響，通過研究發(fā)現(xiàn)該方程中

3、兩類新型行波解即雙扭基解和蝴蝶波解。
　　第三章利用改進(jìn)的定性分析方法研究了一類特殊薛定諤方程的行波解問題，發(fā)現(xiàn)該方程具有豐富的雙孤子解，特別是得到了一類亮孤子和暗孤子同時(shí)出現(xiàn)的奇特行波解。
　　第四章研究了帶有非線性色散項(xiàng)的mkdv方程的Painlevé性質(zhì)，利用改進(jìn)的定性分析方法研究了該方程的行波解及其極限行為。在該方程中存在豐富的奇異孤立波解，如peakon，compacton，loopon和cuspon。