兩類種群模型行波解的存在性.pdf

1、本文首先建立了三個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散方程模型:霍亂模型，營(yíng)養(yǎng)-細(xì)菌模型及具有治療的流感模型.然后用打靶法及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了這三個(gè)模型行波解的存在性及不存在性，得到了模型的最小波速，從而為傳染病控制及細(xì)菌種群控制提供了理論依據(jù).下面分章介紹.
　　 第一章是引言部分，主要介紹了問(wèn)題研究的背景，所用的數(shù)學(xué)方法及不同方法的比較.
　　 第二章建立了具有污染物擴(kuò)散的霍亂傳播模型.首先忽略因病死亡率，考慮霍亂傳播的兩種方式（

2、人與環(huán)境之間的傳播及人與人之間的傳播）.把原系統(tǒng)行波解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極限系統(tǒng)行波解的存在性問(wèn)題，然后通過(guò)打靶法得到了模型行波解存在的充要條件，給出了最小波速的計(jì)算公式.接著考察因病死亡率對(duì)霍亂傳播的影響，但是忽略人的自然出生與死亡過(guò)程.通過(guò)常數(shù)變易法把原系統(tǒng)降維，轉(zhuǎn)化為具有分布時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，然后構(gòu)造一對(duì)有界的上下解，從而得到了一個(gè)正錐.對(duì)這個(gè)正錐用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到行波解的存在性.我們用雙邊Laplace變換方法來(lái)

3、排除行波解的存在性，為了應(yīng)用雙邊Laplace變換就首先要說(shuō)明行波解至少是指數(shù)衰減的，受到穩(wěn)定流形定理證明過(guò)程的啟發(fā)，結(jié)合行波解的平移不變性，提出了一種新的證明指數(shù)衰減性的方法.
　　 第三章基于Mimura的營(yíng)養(yǎng)-細(xì)菌模型，建立了一個(gè)簡(jiǎn)化的反應(yīng)擴(kuò)散模型.通過(guò)常數(shù)變易法把原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有分布時(shí)滯的發(fā)展系統(tǒng).首先考慮線性化特征值問(wèn)題，通過(guò)把兩個(gè)高次多項(xiàng)式與同一個(gè)一次多項(xiàng)式進(jìn)行比較得到了最小波速的計(jì)算公式.為了證明行波解的存在性

4、，進(jìn)一步構(gòu)造一個(gè)輔助系統(tǒng).對(duì)輔助系統(tǒng)構(gòu)造一對(duì)上下解，使用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到輔助系統(tǒng)行波解的存在性，這樣就得到一列行波解，通過(guò)Arzela-Ascoli定理就證明了輔助系統(tǒng)行波解序列的極限就是原系統(tǒng)的行波解.為了證明行波解的不存在性，我們定義了”負(fù)向單邊Laplace變換”，通過(guò)”負(fù)向單邊Laplace變換”證明行波解的不存在性.
　　 第四章建立了具有治療的流感擴(kuò)散模型.通過(guò)分析線性化特征值問(wèn)題得到最小波速的計(jì)算方法

5、.類似于第三章的方法，首先構(gòu)造一個(gè)輔助系統(tǒng)，通過(guò)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到輔助系統(tǒng)行波解的存在性，進(jìn)一步使用Arzela-Ascoli定理就證明了原系統(tǒng)的行波解的存在性.行波解不存在性的證明與第二章的第二個(gè)模型的方法類似.
　　 本段給出論文的創(chuàng)新點(diǎn).創(chuàng)新點(diǎn)分為兩個(gè)方面:模型對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解釋及行波解證明方法上的創(chuàng)新.本文通過(guò)反應(yīng)擴(kuò)散方程模型的行波解揭示了傳染病傳播及細(xì)菌擴(kuò)散的內(nèi)在機(jī)理，得到了最小波速，為霍亂與流感的控制提供了

6、理論基礎(chǔ)，有助于分析細(xì)菌的擴(kuò)散模式.證明方法上的創(chuàng)新點(diǎn)如下:
　　 1.第一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)就是線性化問(wèn)題特征方程的分析.第三章的特征值問(wèn)題是一個(gè)三次多項(xiàng)式方程，為了得到最小波速c*的計(jì)算，我們把兩個(gè)高次多項(xiàng)式與一個(gè)共同的一次多項(xiàng)式相比較得出了c*的存在性，這樣的方法對(duì)三次多項(xiàng)式方程具有較大的適用性，目前沒(méi)有見(jiàn)到有文獻(xiàn)這樣用過(guò).
　　 2.第二個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)是”負(fù)向單邊Laplace變換”概念的引入.為了證明行波解的不存在性，Wang

7、和Wu(2010)使用了雙邊Laplace變換，我們引入的負(fù)向單邊Laplace變換使證明變得更加簡(jiǎn)潔明了.
　　 3.第三個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)在于我們引入了輔助系統(tǒng)，構(gòu)造的上下解是有界的，從而所得到的正錐也是有界的，這與Wang和Wu(2010)的無(wú)界上解有根本的區(qū)別.對(duì)非合作系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，利用所構(gòu)造的有界上下解來(lái)得到最小波速是很不容易的.
　　 4.第四個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)就是提出了一個(gè)證明行波解指數(shù)衰減性的新的方法.Wang和Wu(2010)