幾類具時(shí)變延遲的非線性隨機(jī)微分方程的數(shù)值算法及理論.pdf

1、隨機(jī)模型已經(jīng)在很多的科學(xué)和工程領(lǐng)域的分支上起到了很重要的作用.越來(lái)越多的學(xué)者開始加入到研究隨機(jī)微分方程的行列.隨著近些年研究的深入,各種不同類型的隨機(jī)微分方程開始獲得學(xué)者的關(guān)注,比如,具常延遲的隨機(jī)微分方程,具變延遲的隨機(jī)微分方程,帶泊松跳的隨機(jī)微分方程,具馬爾科夫轉(zhuǎn)換的隨機(jī)微分方程.可是,大部分帶有延遲和其他類型隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)微分方程的精確解不能顯式給出.因此,研究隨機(jī)微分方程的數(shù)值解就顯得越發(fā)的重要.本文針對(duì)幾類具時(shí)變延遲的Ito型

2、隨機(jī)微分方程的解析解和數(shù)值算法進(jìn)行了研究,著重研究了它們的數(shù)值收斂性,穩(wěn)定性.
　　在第一章,鑒于隨機(jī)微分方程在各個(gè)領(lǐng)域的普遍應(yīng)用,此文扼要的舉出了若干個(gè)隨機(jī)模型,回顧了隨機(jī)微分方程以及其數(shù)值解研究的現(xiàn)實(shí)情況,介紹了本工作的主要內(nèi)容和研究意義,并介紹了一些常用的記號(hào)、定義和基本理論.
　　在第二章,考慮一類具分段常變?cè)姆蔷€性隨機(jī)微分方程.利用隨機(jī)單支θ-方法模擬此類隨機(jī)微分方程.在全局Lipschitz和線性增長(zhǎng)條件下,給

3、出了該數(shù)值方法的收斂定理和收斂階,此外還討論了參數(shù)θ取不同值時(shí),其數(shù)值解是否保持相應(yīng)的指數(shù)穩(wěn)定性.最后一部分利用數(shù)值試驗(yàn)證實(shí)了該方法的收斂階和指數(shù)穩(wěn)定性.
　　第三章對(duì)于滿足單邊Lipschitz條件的具分段常變?cè)姆蔷€性帶跳隨機(jī)微分方程的數(shù)值解進(jìn)行分析.選擇了一類可以解決剛性問(wèn)題的補(bǔ)償分裂平衡法來(lái)處理這類隨機(jī)微分方程.重點(diǎn)分析了此數(shù)值算法作用在此類方程上的強(qiáng)收斂性,分析當(dāng)中用到了連續(xù)形式的數(shù)值格式而不是之前平衡法常用的離散形式的

4、數(shù)值格式.并且,給出了此數(shù)值方法的數(shù)值解保持相應(yīng)的解析解的指數(shù)穩(wěn)定性所要滿足的充分條件.章節(jié)的最后數(shù)值驗(yàn)證了補(bǔ)償分裂平衡法的強(qiáng)收斂性和指數(shù)穩(wěn)定性.
　　在第四章,分析了作用在具馬爾科夫調(diào)制的強(qiáng)非線性隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯微分方程的向后歐拉法.由于此類方程滿足局部Lipschitz條件和單邊多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件,它具有很強(qiáng)的非線性,此外還受到時(shí)變延遲的影響,因此分析這類方程的數(shù)值解時(shí)往往很難得到其強(qiáng)收斂的性質(zhì).為此引入了幾個(gè)引理,在證明的過(guò)程中加上

5、了處理時(shí)變延遲的技巧,證明了向后歐拉法作用在此類方程的強(qiáng)收斂性.此外,利用連續(xù)型和離散型的半鞅收斂理論,證明了其數(shù)值解在滿足一定的條件下保持方程解析解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性.給出了相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證我們的理論.
　　在第五章,針對(duì)一類具馬爾科夫調(diào)制的強(qiáng)非線性隨機(jī)中立型微分方程,證明了此類方程的漸近有界性和p次指數(shù)穩(wěn)定性.文中分別給出了兩個(gè)主要定理,基于李雅普諾夫理論分析得到了第一個(gè)定理,依據(jù)第一個(gè)定理和M-矩陣的性質(zhì),第二個(gè)定理給