幾類非線性微分方程振動性的研究.pdf

1、微分方程的振動性理論是微分方程定性理論中一個十分重要的分支,它具有非常深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型.由G.sturm所建立的關(guān)于齊次二階線性微分方程解的零點分布的比較定理和分離定理,為微分方程振動性理論的研究奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。一個半世紀(jì)以來,微分方程的振動性理論得到了迅猛的發(fā)展,有大批學(xué)者從事于這方面的理論研究,取得了一系列豐碩的研究成果.
　　 微分方程解的振動性也是微分方程解的重要性態(tài)之一.隨著自然科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展,

2、在許多應(yīng)用問題中均出現(xiàn)了是否微分方程有振動解存在或者是否微分方程的一切解均為振動解的問題.特別是近幾十年,微分方程解的振動性的研究發(fā)展得相當(dāng)迅速,其中以二階非線性微分方程最受人們的關(guān)注,因此也被研究得比較深入和廣泛,無論是從方程的類型上還是從研究的方法上均有長足的發(fā)展
　　 本文利用廣義Riccati變換,廣義變分原理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及巧妙運用不等式,對幾類微分方程的振動性,進行了討論,得到了一些新的振動性的判別準(zhǔn)則.根據(jù)內(nèi)

3、容,本文分為如下四章.
　　 第一章概述了本文研究的主要問題及基礎(chǔ)理論.
　　 第二章研究了一類含強迫項的二階擬線性微分方程
　　 (p(t)|x'(t)|α-1x'(t))'+q(t)|x(t)|β-1x(t)=e(t),t≥t0,
　　 解的振動性,其中p,g,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,且0<α≤β是常數(shù).
　　 本章的主要目的是使用廣義的變分原理來討論上述擬線性方程的振動性,

4、所得到的新的振動性判定與廣義變分形式密切相關(guān),并且推廣和改進了許多現(xiàn)有文獻中的結(jié)果.
　　 第三章研究了一類含強迫項的非線性微分方程
　　 (p(t)ψ(x'(t)|x(t)|α-1x'(t))'+q(t)f(x(t))=e(t),t≥t0,的解的振動性,其中α是正常數(shù),p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,且ψ∈C(R,(0,∞)),f∈C(R,R)滿足當(dāng)u≠0時uf(u)>0.
　　 本章主要利用

5、了廣義Leighton變分原理,Riccati變換,基本不等式將Zhaowen Zheng和S.Cheng在文[36]中的結(jié)論推廣和改進,得到了一些新的振動性準(zhǔn)則.
　　 第四章研究了一類含強迫項的二階擬線性微分方程(r(t)|x'(t)|α-1x’(t))’+q(t)|x(t)|β-1x(t)+F(t,x(t),x(T(t),x'(t),x'(T(t)))=e(t),t≥t0>0,的振動性,其中
　　 (I1)0<α≤

6、β是常數(shù)；
　　 (I2)r,q,e∈C([t0,∞),R),且r(t)>0；
　　 (I3)F:[t0,∞)×R×R×R→ R是一個連續(xù)函數(shù)；
　　 (I4)T:[t0,∞)→(0,∞)是一個連續(xù)函數(shù)而且limt→∞T(t)=∞.
　　 A.Tiryaki在文[42]中得到了如下方程的振動性
　　 (r(t)?x'(t)|α-1x'(t))'+F(t,x(t),x(t)),x'(t),x'(t)

7、,z'(T(t)))=0,t≥t0>0.
　　 2007年,Zhaowen Zheng和Fanwei Meng在[40]文中又研究了方程
　　 (p(t)|x'(t)|α-1x'(t))'+q(t)|x(t)|β-1x(t)=e(t),t≥t0,的振動性,其中p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,0<α≤β是常數(shù).
　　 本章在上述論文[39]-[47]的基礎(chǔ)上,采用兩種不同的方法,研究了一類更為廣泛