幾類隨機泛函微分方程的數(shù)值算法與理論.pdf

1、由于隨機現(xiàn)象在自然界及其工程系統(tǒng)中的廣泛存在，隨機模型在生物、力學、經(jīng)濟、醫(yī)學、工程等諸多科學領域中發(fā)揮著越來越重要的作用。同時，隨著研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象的發(fā)生會受到時滯因素的影響，即與事物的過去狀態(tài)有關，而不是僅僅取決于系統(tǒng)的當前狀態(tài)。隨機泛函微分方程(SFDEs)常常被用來對這些系統(tǒng)進行建模，它們通?？梢钥闯墒欠汉⒎址匠?FDEs)和隨機微分方程(SDEs)的推廣。由于隨機泛函微分方程的顯式解通常很難被求得，于是開展對

2、其數(shù)值方法的研究就顯得尤為重要。
　　 本文針對幾類It?o 型隨機泛函微分方程，構造了若干新型數(shù)值方法，研究了其穩(wěn)定性、收斂性及計算實現(xiàn)。特別地，我們探討了生化系統(tǒng)的多尺度方法。全文組織如下：在第二章，我們給出了一種求解It?o 型隨機延遲微分方程的強預校方法，證明了在Lipschitz 條件和線性增長條件下，該方法是min(1/2，?p)階收斂的。這里，被求解方程的初始函數(shù)是?p 次H¨older 連續(xù)的。其次，得到了該類方

3、法的一個穩(wěn)定性判據(jù)，結果表明：若對方法本身的自由參數(shù)p 進行適當?shù)倪x取，所得到的新方法將會比普遍使用的Euler-Maruyama 方法具有更好的穩(wěn)定性。數(shù)值結果驗證了方法的收斂性，并且通過對其自由參數(shù)p的不同取值，對比了方法的穩(wěn)定性。最后，討論了方法的向量化實現(xiàn)，表明通過向量化實現(xiàn)可以使得方法的計算效率得以明顯的提高。在第三章中，我們考慮了強預校方法應用于It?o 型隨機微分方程時的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和矩指數(shù)穩(wěn)定性，得到了相應的穩(wěn)定性

4、判據(jù)。結果表明在一定的條件下，如果步長足夠小，該方法是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和矩指數(shù)穩(wěn)定的。數(shù)值試驗進一步驗證了上述理論結果。在第四章，我們提出了一種求解隨機延遲微分方程的顯式強1 階無導數(shù)方法，其中，所研究的隨機延遲微分方程要求具有足夠光滑的漂移系數(shù)和擴散系數(shù)以及標量型的維納過程。此外，我們也給出了一個Milstein 方法求解線性測試方程的穩(wěn)定性結論，由該結論得到的穩(wěn)定域較先前文獻給出的穩(wěn)定域要更大。為了對比方法的穩(wěn)定域，我們進一步研究了

5、無導數(shù)方法和Milstein 方法求解線性隨機延遲微分方程的穩(wěn)定性舉止。最后，用數(shù)值試驗證實了其穩(wěn)定性結論。在第五章考慮了一類帶隨機擾動和記憶項的復雜系統(tǒng)，這類系統(tǒng)可以用非線性隨機延遲積分微分方程來進行建模。本章中，我們得到了一個關于該方程的延遲依賴的穩(wěn)定性判據(jù)，并且利用數(shù)值試驗進一步論證了上述理論結果。在第六章，我們給出了分子數(shù)目跨度很大的延遲生化系統(tǒng)的多尺度模擬方法?；谙到y(tǒng)分割的思想和已有的延遲生化系統(tǒng)的仿真方法，提出了一種可以顯