首次積分法在偏微分方程中的應(yīng)用研究.pdf

1、眾所周知，著名數(shù)學物理學家牛頓和萊布尼茲在17-18世紀創(chuàng)立的微積分學在近代和現(xiàn)代科學研究中得到了廣泛的運用，并取得了一系列輝煌的成就:二體問題的解決、海王星的發(fā)現(xiàn)，都是微分方程成功應(yīng)用于質(zhì)點動力學的壯麗篇章。隨著分析力學的發(fā)展，人們開始關(guān)心并研究連續(xù)變化的介質(zhì)，如弦振動、彈性固體形變、流體力學等復雜力學現(xiàn)象的規(guī)律，進而得到了很多偏微分方程模型。
　　 近年來，隨著科學技術(shù)的迅速發(fā)展，偏微分方程已被廣泛地應(yīng)用于氣象、機械、電信、

2、化工、生態(tài)、經(jīng)濟、人口和其他社會科學的各個研究領(lǐng)域。如何合理解釋這些偏微分方程的動力學行為是研究者的主要目標，而尋求它們的精確解，研究其各類解的性質(zhì)也成為科學工作者的重要課題。
　　 本文主要運用首次積分法，深入研究了一些重要的偏微分方程，得到了它們的新的精確解。首次積分法[1]是馮兆生教授在2002年求解B urgers-KdV方程中被第一次提出的求解非線性偏微分方程的有效方法。首次積分法以環(huán)交換理論為基礎(chǔ)，把偏微分方程通過行

3、波變換，將其化為具有首次積分的常微分方程，再求出常微分方程的解，從而得到偏微分方程的孤立波解、指數(shù)函數(shù)解、三角函數(shù)解和其他精確解。目前，首次積分法被廣泛用于求解非線性偏微分方程。例如:Raslan[2]應(yīng)用首次積分法求解Fisher方程，Abbasbandy和Shirzadi[3]求解了Benjamin-Bona-Mahony方程通過使用首次積分法，Tascanetal[4]使用首次積分法求得Zakharov-Kuznetsov方程和Z

4、K-MEW方程的解。首次積分法的顯著優(yōu)點是把求偏微分方程的過程化為求常微分方程的首次積分。
　　 本文共分為四章。第一章，介紹了偏微分方程的發(fā)展及其廣泛應(yīng)用，分析了目前求偏微分方程精確解的研究現(xiàn)狀及求解方法。第二章，分析首次積分法的基本原理，并歸納、總結(jié)了運用首次積分法求偏微分方程的精確解的基本步驟。第三章，運用首次積分法求出一些重要的偏微分方程的精確解。運用首次積分法求得了廣的Whitham-Broer-Kaup(WBK)方程