吳方法及其在偏微分方程中的應用.pdf

1、該文共分兩部分,第一部分討論微分特征列法的理論和應用問題,涉及到微分方程,抽象代數(shù),計算機代數(shù)等重要學科.將吳方法應用到具有物理意義的線性偏微分方程上去,我們給出了Ⅱ型序,驗證了張鴻慶教授八十年代給出的恰當解的概念,刻劃了解的規(guī)模并給出了形式冪級數(shù)解.第二部分以構造性的變換及符號計算特別是(吳代數(shù)消元法)為工具,來研究非線性演化方程中的一些問題:精確解(如孤子解、周期解、有理解和雅可比橢圓函數(shù)解(雙周期解)等)、Backlund變換、H

2、opf變換,dromion解及衰變結構等.第二章介紹了求解PDEs的AC=BD模式及其在偏微分方程中的作用.首先給出了C-D對和C-D可積系統(tǒng)的基本理論,然后是具體研究了它們的應用.如何找到變換是這一章的一個重點內(nèi)容.第三章介紹了吳微分特征列法的最基本理論和它的應用.我們把它應用到線性偏微分方程上去得到了解的規(guī)模和形式冪級數(shù)解.因此驗證了張鴻慶教授80年代的結果.第四章討論了雙曲函數(shù)變法及其應用.推導出了雙曲函數(shù)變換,利用此方法探討了一

3、類反應擴散方程,Brusselator反應擴散方程這些具有物理、化學、生物意義的方程的精確解(包括奇性孤波解,周期解和有理函數(shù)解).我們還研究了KdV,耦合KdV方程及一類組合KdV-Burgers方程,一類非線性演化方程精確解,這些解包括奇性孤波解,周期解和有理函數(shù)解.在解決問題的過程中吳代數(shù)消元法是最重要的基本工具.第五章考慮了非線性偏微分方程的雅可比橢圓函數(shù)解(雙周期解)精確解的機械化算法:基于著名的sine-Gordon方程和s

4、inh-Gordon方程,我們獲得兩種雅可比橢圓函數(shù)的的機械化算法.稱之為雅可比橢圓函數(shù)擴展法,它是一種比sine-cosine方法和sn-cn函數(shù)法,雙曲函數(shù)法更有效和簡單的方法.我們分別把它應用于一類非線性演化方程,RLW和組合KdV方程上去,獲得了許多雅可比橢圓函數(shù)解和其它精確解.第六章研究了齊次平衡法新的應用,把它應用到WBK方程上去得到了許多新的精確解.把它應用到Boussinesq方程上去并和吳方法結合在一起獲得了新的精確解