曲線的可積運(yùn)動(dòng)研究.pdf

1、幾何思想在現(xiàn)代理論物理中的許多領(lǐng)域中都有所體現(xiàn)，它們通常對(duì)應(yīng)于非線性物理中的某些現(xiàn)象.在幾何學(xué)本身和非線性物理中，可積系統(tǒng)起著關(guān)鍵性作用.如Einstein方程的精確解，弦理論，非線性光學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)中的孤子等.孤子理論是非線性學(xué)科中的一個(gè)重要組成部分，具有廣闊的物理背景和廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)中重要的研究領(lǐng)域.數(shù)學(xué)和物理中有關(guān)可積性的交互作用產(chǎn)生了豐富的結(jié)果.可積非線性偏微分方程和差分方程的現(xiàn)代理論深深植根于19世紀(jì)末和20世紀(jì)初杰

2、出幾何學(xué)家的研究成果.而曲線的可積運(yùn)動(dòng)最早也是源于物理中無(wú)界無(wú)粘性流體的孤立渦絲的空間演化，接著在數(shù)學(xué)和物理中發(fā)展起來(lái).本文研究歐式空間和Minowski空間中曲線的可積運(yùn)動(dòng)理論，主要結(jié)果如下:
　　 一.歐氏空間中的曲線運(yùn)動(dòng)和B(a)cklund變換.根據(jù)運(yùn)動(dòng)曲線的相容性以及Frenet標(biāo)架的相容性，得到了關(guān)于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對(duì)于常撓率運(yùn)動(dòng)曲線，非線性偏微分方程化為KdV方程.隨后，我們得到了平面曲線流的Fren

3、et標(biāo)架之間的B(a)cklund變換，并由此構(gòu)造了圈孤子曲線和閉曲線.最后，我們利用Lie代數(shù)su(2)和so(3)之間的同構(gòu)，得到Lie群SU(2)和SO(3)之間的同態(tài)映射，并由此構(gòu)造了常撓率運(yùn)動(dòng)曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換，研究了周期曲線，這些周期曲線在xy平面上的投影是閉曲線。
　　 二.Minkowski空間中的曲線運(yùn)動(dòng)和B(a)cklund變換.根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的相容性以及Frenet標(biāo)架的相容性

4、，得到了關(guān)于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對(duì)于常撓率曲線運(yùn)動(dòng)，非線性偏微分方程化為KdV方程和散焦KdV方程.隨后，我們利用Lie代數(shù)su(1，1)和so(1,2)之間的同構(gòu)，得到Lie群SU(1，1)和SO(1,2)之間的同態(tài)映射，進(jìn)而得到了常撓率運(yùn)動(dòng)類時(shí)曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換.類似地，利用Lie代數(shù)su(1，1)和so(1，1，1)以及Lie代數(shù)su(1，1)和so(2，1)之間的同構(gòu)，分別得到了主法向量

5、是類時(shí)和主法向量是類空兩類運(yùn)動(dòng)類空曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換.接著，研究了對(duì)應(yīng)于常撓率曲線沿著不含有副法向量運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運(yùn)動(dòng)曲線的B(a)cklund變換.最后，考慮了對(duì)應(yīng)于常撓率曲線僅沿著副法向量運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運(yùn)動(dòng)曲線的B(a)cklund變換。
　　 三.Minkowski空間中的Bertrand曲線和Razzaboni曲面.首先考慮了類時(shí)Bert

6、rand曲線的伴侶曲線.對(duì)于由類時(shí)Bertrand曲線沿著副法向量運(yùn)動(dòng)生成的Razzaboni曲面，我們考慮了Razzaboni曲面及其對(duì)偶曲面之間的互反變換.接著研究了類時(shí)Bertrand曲線之間和對(duì)應(yīng)的Razzaboni曲面之間的B(a)cklund變換，最后證明了互反變換和B(a)cklund變換是交換的.對(duì)于另外兩類Bertrand曲線，即主法向量是類時(shí)的和主法向量是類空的類空曲線，我們得到了類似的結(jié)論.最后，我們分別研究了主法