廣義迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引子性質(zhì)的研究.pdf

1、迭代函數(shù)系統(tǒng)起源于動(dòng)力系統(tǒng)理論，是研究多個(gè)映射的迭代。迭代函數(shù)系統(tǒng)的研究最早開始于J.Hutchinson的文章[21]。J.Hutchinson構(gòu)造了Rn中的有限個(gè)相似的壓縮映射族來(lái)研究分形集的自相似性。M.Barnsley等學(xué)者將迭代函數(shù)系統(tǒng)的理論系統(tǒng)化并應(yīng)用到了分形理論的研究上?，F(xiàn)在迭代函數(shù)系統(tǒng)不僅作為研究分形理論的工具，而且其思想對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)也有很深遠(yuǎn)的影響。迭代函數(shù)系統(tǒng)還被應(yīng)用在自回歸時(shí)間序列、圖像處理理論、隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域。

2、因此迭代函數(shù)系統(tǒng)的研究和推廣具有非常重要的理論價(jià)值。
　　 有限迭代函數(shù)系統(tǒng)的理論已相對(duì)成熟，很多學(xué)者對(duì)此做了大量的研究工作。對(duì)于有限迭代函數(shù)系統(tǒng)的推廣也是研究者關(guān)心的問(wèn)題，主要涉及到以下幾個(gè)方面的推廣:將有限迭代函數(shù)系統(tǒng)推廣到無(wú)窮迭代函數(shù)系統(tǒng);將狀態(tài)空間由緊度量空間推廣到非緊空間;將普通迭代函數(shù)系統(tǒng)推廣到廣義迭代函數(shù)系統(tǒng);將由滿足Lipschitz壓縮的映射族生成的迭代函數(shù)系統(tǒng)推廣到由滿足更一般的壓縮性的映射族生成的迭代函數(shù)系

3、統(tǒng)。
　　 本文主要研究了以下三個(gè)問(wèn)題。
　　 第一章研究了無(wú)窮迭代函數(shù)系統(tǒng)不變測(cè)度的存在性與漸近穩(wěn)定性。關(guān)于Markov算子不變測(cè)度的存在性、漸近穩(wěn)定性、遍歷性等問(wèn)題一直是研究的熱點(diǎn)，并且迭代函數(shù)系統(tǒng)是一種特殊的Markov鏈，因此可以利用Markov算了理論對(duì)迭代函數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行研究。T.Szarek在文章[13]中研究了完備可分度量空間，即Polish空間上的Markov算子不變測(cè)度的存在性，證明了非擴(kuò)張局部集中的Ma

4、rkov算子具有唯一的不變概率測(cè)度，并將結(jié)果應(yīng)用到有限迭代函數(shù)系統(tǒng)中，給出了有限迭代函數(shù)系統(tǒng)不變測(cè)度存在性及漸近穩(wěn)定性的充分條件。無(wú)窮迭代函數(shù)系統(tǒng)即由無(wú)窮個(gè)映射生成的迭代函數(shù)系統(tǒng)。我們?cè)诘谝徽轮醒芯苛藷o(wú)窮迭代函數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)，采用了T.Szarek的研究方法，利用全局集中、局部集中、胎緊等性質(zhì)進(jìn)行研究，得到了無(wú)窮迭代函數(shù)系統(tǒng)不變測(cè)度存在性和漸近穩(wěn)定性的充分條件。
　　 第二章研究了由滿足推廣壓縮性的映射族生成的廣義可數(shù)迭代函數(shù)系統(tǒng)

5、吸引子的存在性。一般迭代函數(shù)系統(tǒng)是指由映射族(wn)Nn=1，wn:X→X生成的，我們考慮廣義的迭代函數(shù)系統(tǒng)，是由映射wn:X×X→X生成的，顯然廣義迭代函數(shù)系統(tǒng)為一般迭代函數(shù)系統(tǒng)的推廣。A.Mihail和R.Miculescu在文章[27]，[34]，N.A.Secelean在文章[29]中研究了廣義迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引子的性質(zhì)。N.A.Secelean還在文章[30]中介紹了度量空間中幾種壓縮性質(zhì):(ψ)-壓縮的、r-壓縮的、Meir-

6、Keeler映射、壓縮的。容易得到(ψ)-壓縮的、r-壓縮的、壓縮的是Lipschitz壓縮性的推廣。并且證明了由滿足上述壓縮性的映射族生成的可數(shù)迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引子的存在性。我們將N.A.Secelean在文章[30]中的結(jié)果推廣到廣義可數(shù)迭代函數(shù)系統(tǒng)中，給出了吸引子存在性的充分條件。研究方法是首先證明了幾種推廣的Banach壓縮映射原理，進(jìn)而利用壓縮映射原理得到了廣義可數(shù)迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引子的存在性。
　　 第三章研究了可數(shù)迭代

7、函數(shù)系統(tǒng)吸引子的連續(xù)依賴性。本文第二章研究了廣義可數(shù)迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引子的存在性，本章我們討論吸引子之間的關(guān)系。如果對(duì)于含有參數(shù)λ的一族迭代函數(shù)系統(tǒng)μλ={(wn)λ|n≥1}，μλ存在唯一吸引子Aλ，那么吸引子Aλ在Hausdorff度量下關(guān)于參數(shù)λ是否具有連續(xù)性也是值得研究的課題?？琢畛谖恼耓40]中研究了雙曲迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引了的存在性和連續(xù)依賴性，并且應(yīng)用集值動(dòng)力系統(tǒng)的理論研究了非一致雙曲迭代函數(shù)系統(tǒng)吸引了的一致吸引性和連續(xù)依賴性