圖像處理中幾類PDE模型的數(shù)值方法.pdf

1、隨著社會的數(shù)字化與信息化，數(shù)字圖像處理日益成為一門越來越重要的學科，并且在生物、工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、通信等許多領(lǐng)域都有著極其廣泛的應用.總體來說，圖像處理包括圖像復原、圖像增強、圖像分割、圖像編碼、圖像壓縮、圖像增強、圖像放大等眾多內(nèi)容.本文主要研究圖像處理的兩類問題：圖像復原問題與圖像放大問題。
　　 一般來說，圖像處理的方法可以歸納為三類：基于小波的方法，基于概率統(tǒng)計的方法以及基于偏微分方程(PDE)的方法.本文主要著眼于基

2、于PDE的圖像處理方法，研究了局部與非局部兩類模型：局部模型中，我們分別研究了ROF模型、LLT模型、LOT模型以及TV-Stokes模型；非局部模型中，我們主要考慮了非局部變分模型.研究基于PDE的圖像處理方法的優(yōu)勢在于數(shù)值計算本身已有許多求解PDE的理論與算法可供使用.事實證明PDE在圖像科學的發(fā)展中具有舉足輕重的地位。
　　 在第三章中，我們提出了求解圖像復原問題中四階模型的修正不動點算法.與標準不動點算法相比，本章所提出

3、的修正不動點算法在迭代過程中避免了直接求解逆矩陣，因此，該算法在加快收斂速度的同時還降低了舍入誤差.理論上，我們采用不同的證明方法，分別給出了各向異性與各向同性擴散四階模型的收斂性分析：對于各向異性擴散四階模型，我們利用Cauchy-Schwarz不等式及簡單的不等式放縮法進行收斂界估計；對于各向同性擴散四階模型，我們利用矩陣的譜條件數(shù)，得到了一個更加簡單與精確的收斂界.在數(shù)值實驗中，通過與時間演化算法，標準不動點算法以及分裂Bregm

4、an算法進行比較，不難看出本章所提出的基于四階模型的修正不動點算法的高效性與優(yōu)越性。
　　 在第四章中，基于對偶策略，我們提出了兩種求解圖像放大問題中兩步模型的對偶型算法.在4.3節(jié)中，我們考慮的是基于修正LOT模型的圖像放大方法.經(jīng)典的LOT模型中，第一步首先直接光滑化圖像的法向量.然而，考慮到Chambolle對偶策略中的對偶變量也可以看作圖像的法向量，我們提出直接計算對偶變量而不是直接光滑化法向量.在第二步中，我們采用快速

5、的分裂Bregman迭代算法重構(gòu)所求圖像.在4.4節(jié)中，我們考慮基于TV-Stokes模型的圖像放大方法.在第一步中，我們結(jié)合零散度條件對切向量進行光滑化，得到一個Stokes型方程.接下來由第一步求得的光滑化切向量，我們計算得到相應的法向量，類似于LOT模型通過擬合法向量來重構(gòu)圖像.數(shù)值求解時，我們采用對偶算法.關(guān)于這兩類算法，我們都給出了收斂性分析，數(shù)值實驗也表明了這兩類算法的有效性。
　　 在第五章中，我們研究了求解圖像放

6、大問題中非局部變分模型(NL-TV)的分裂Bregman迭代算法.不同于局部模型，非局部模型充分利用了圖像自身的空間結(jié)構(gòu)信息來對圖像進行處理，從而能同時處理光滑區(qū)域與紋理區(qū)域，更好地保持了圖像的細微結(jié)構(gòu).在算法設(shè)計中，一方面，我們使用分裂Brenman算法來求解該模型所對應的歐拉一拉格朗日方程，另一方面，我們在每一步計算中更新權(quán)函數(shù)，從而更加精確的刻畫原始像素之間的相互作用.接下來，我們證明了該算法的收斂性.數(shù)值實驗表明，與以往多種圖像