環(huán)狀神經網絡模型的穩(wěn)定性與分岔分析.pdf

1、該學位論文主要論述具自反饋和時滯的環(huán)狀連接神經網絡的穩(wěn)定性和分岔,該網絡具有on-center off-surround性質,并且能夠通過李群來刻畫它的對稱性.這種網絡出現在許多神經結構中,例如大腦皮層、小腦和海馬之中,甚至于出現在化學和電力設計之中.通過研究環(huán)狀神經網絡可以了解循環(huán)網絡的基本機理.毫無疑問,系統(tǒng)的信號傳輸的時間延遲和空間結構(指關于二面體群D<,n>作用下的不變性)所引起的無限維性質研究是一項很困難的任務.關于對稱時滯

2、微分方程中的周期解的存在性和全局持續(xù)存在性,現在已有一些一般性的理論.然而,將這些一般性的結果應用到具有on-center off-surround性質的具體系統(tǒng)中去,卻包含著很多不平凡的的內容:(i)特征方程通常是超越的并且依賴于參數的變化,很難分析它的零點分布;(ii)線性化系統(tǒng)所產生的連續(xù)半群的無窮小生成元的廣義特征空間的對稱性分析,以及將該廣義特征空間與D<,n>的某兩個恒同的絕對不可約表示的直和等同起來;(iii)在一般的Ho

3、pf分岔理論中,與通常的橫截性條件相應的橫越數的計算;(iv)周期解的范數以及周期的界估計.該論文主要研究內容如下:第一,通過分析相應的超越特征方程來研究模型線性的穩(wěn)定性.借助于空間分解,我們巧妙地討論了特征方程零點的分布,并且導出保證所有的特征根具有負實部的一些充分條件,即使得該模型是漸近穩(wěn)定的.第二,借助于一般的Hopf分岔理論,我們獲得分岔周期解和它的大范圍存在性.利用正規(guī)型和中心流形的計算,我們推導了一些公式來判斷環(huán)狀連接神經網

4、絡模型分岔出的周期解的性質,例如Hopf分岔方向與穩(wěn)定性等等.第三,在某些適當的條件下,系統(tǒng)存在由純量時滯微分方程所刻畫的慢振動同步周期解.即使純量時滯微分方程的慢振動周期解是穩(wěn)定的,但是利用Floquet理論以及Krein-Rutmann定理,我們可以證明當系統(tǒng)足夠大時,對應的慢振動同步周期解都是不穩(wěn)定的.第四,由時滯微分方程的對稱分岔理論并結合二面體群的表示理論,我們不僅在模式形成上調查了信號傳播的突觸產生時滯的效果,而且獲得了多個