曲線能量約束的研究及應(yīng)用.pdf

1、本文對曲線造型中的能量極小約束問題進(jìn)行了研究。曲線造型的能量極小約束方法在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、各類零部件加工等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 一般認(rèn)為應(yīng)變能最小的曲線是光順的，在曲線光順中常常使用能量極小作為約束。由于精確能量公式中的曲率表達(dá)式是有理函數(shù)，在能量的極小化過程中要求解非線性方程組，因此在能量極小約束問題中通常都是采用近似能量模型。常用的能量近似模型為曲線二階導(dǎo)平方的積分，該模型假定曲線一階導(dǎo)矢的模長近似

2、為一個(gè)常數(shù)，所取參數(shù)t可視作弧長參數(shù)。由于其計(jì)算簡單且在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)良好，該近似模型得到了廣泛的應(yīng)用。Wang提到了幾種近似能量模型，也都是在精確能量公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的簡化。與上述近似方法不同的是，Zhou采用牛頓迭代法將求解精確能量模型的問題線性化，是對精確能量模型很好的近似。 對于能量極小約束的很多解決方法都存在其各自的缺點(diǎn)。比如，盡管二階導(dǎo)平方的積分被廣泛用做精確能量的近似，可是在某些特殊情況下反而會(huì)得出很差的結(jié)果，正如

3、Lee于1990年所舉的反例中出現(xiàn)的情況，該近似能量值減小曲線反而更加不光順。Wang比較了精確能量模型與三種近似能量模型，結(jié)果表明這三種近似模型所決定的曲線較之精確能量模型更容易產(chǎn)生尖銳的拐角和平坦區(qū)域，并不是對精確能量模型好的近似，所以作者建議在用到極小化能量光順曲線時(shí)應(yīng)盡量使用精確能量模型，可是精確能量模型又需要耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。Zhou的方法需要對每個(gè)待定參數(shù)求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，由于曲率公式是有理函數(shù)，當(dāng)曲線表達(dá)式較復(fù)雜或待定

4、參數(shù)的數(shù)目較多時(shí)，該方法的求解過程也會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜。 針對上述問題，本文提出了一種求解能量極小化問題的近似算法。將精確能量公式中的一階導(dǎo)矢用一個(gè)確定的初始近似值代替，從而把非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題，求解目標(biāo)函數(shù)的未知量。確定未知量的過程是一個(gè)迭代的過程，以新計(jì)算的一階導(dǎo)矢代替原來的一階導(dǎo)矢，直到相鄰兩次曲線能量計(jì)算結(jié)果之差小于給定的誤差迭代結(jié)束。和現(xiàn)有方法相比，新方法簡單易用，在一定程度上避免了以往方法中計(jì)算復(fù)雜性高、時(shí)間消耗代