有限域上的一些算術(shù)問題.pdf

1、本文主要研究了有限域上的一些算術(shù)問題，這些問題均具有密碼學(xué)上的應(yīng)用背景．全文共分四章． 在第一章中，我們對(duì)有限域上代數(shù)簇有理點(diǎn)個(gè)數(shù)的某些類型的估計(jì)進(jìn)行了改進(jìn)或推廣．這些估計(jì)包括著名的Chevalley—Warning定理和Ax-Katz定理，以及萬大慶定理．例如，通過引入“Ф-變換”的概念，將關(guān)于簡(jiǎn)單對(duì)角多項(xiàng)式零點(diǎn)個(gè)數(shù)的壓縮公式推廣到廣義對(duì)角多項(xiàng)式以及更為一般的情形上去；利用Adolphson和Sperber的牛頓多面體理論與指

2、數(shù)和工具，將萬大慶定理進(jìn)行了兩個(gè)不同方向的推廣，等等． 在第二章中，我們研究了有限域上三類特殊超曲面方程(對(duì)角方程、S-方程和階梯方程)的解數(shù)公式．通過引入“GCD-連通集”這一概念，得到以下一些結(jié)果：(a)給出了華羅庚、Vandiver和Weil關(guān)于對(duì)角方程解數(shù)的特征和表達(dá)式及其相關(guān)函數(shù)的分解公式，(b)對(duì)孫琦和萬大慶的兩個(gè)定理給出了一個(gè)統(tǒng)一的簡(jiǎn)單證明，(c)部分地回答了萬大慶提出的一個(gè)問題并提出了一個(gè)猜想．引入了S-方程的概

3、念，證明了本原S-方程在方程解數(shù)的研究中具有類似不可約多項(xiàng)式在多項(xiàng)式分解中的重要作用，并且由此發(fā)現(xiàn)了一系列新的解數(shù)公式．對(duì)王文松和孫琦關(guān)于階梯方程的定理給出了一個(gè)簡(jiǎn)潔的證明． 在第三章中，我們討論了有限域上的基．通過引入“k-th乘法表”的概念，給出了關(guān)于對(duì)偶基的一種新的刻畫；作為應(yīng)用，推廣了廖群英和孫琦的有關(guān)結(jié)果，并簡(jiǎn)化了廖群英和孫琦，以及Wang和Btake的相關(guān)定理的證明．通過利用Akbik和Ruskey等的兩個(gè)計(jì)數(shù)定理，

4、對(duì)Perlis和Pei等的關(guān)于不可約多項(xiàng)式與N-多項(xiàng)式的兩個(gè)定理給出了一個(gè)統(tǒng)一的簡(jiǎn)潔證明．最后還提出了一個(gè)純屬組合數(shù)論的問題． 在第四章中，我們介紹了如何利用有限域上的圓錐曲線和橢圓曲線的有理點(diǎn)成群這一性質(zhì)進(jìn)行整數(shù)分解和設(shè)計(jì)RSA型公鑰密碼系統(tǒng)，并比較了它們各自的優(yōu)劣，從中總結(jié)出利用有限域上的群進(jìn)行整數(shù)分解和設(shè)計(jì)RSA型公鑰密碼系統(tǒng)的一般規(guī)則．特別地，我們指出環(huán)Z<,n>上RSA型公鑰密碼系統(tǒng)通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)可以抵抗包括傳統(tǒng)的