對于有限域上橢圓曲線的一些算術(shù)問題的研究.pdf

1、由于RSA、橢圓曲線、超橢圓曲線公鑰密碼體制越來越廣泛的應(yīng)用，對于它們的研究也越來越重要。有限域上橢圓曲線的算術(shù)理論，是(超)橢圓曲線公鑰密碼體制的基礎(chǔ)，其中許多算術(shù)問題的研究對于各類公鑰密碼體制的應(yīng)用具有至關(guān)重要的作用。本文主要是對其中的兩個基本問題的研究。 超橢圓曲線密碼體制中最核心的問題是計(jì)算選取的超橢圓曲線的Jacobian的階和找到Jacobian具有給定階的超橢圓曲線。對于給定的整數(shù)n，我們經(jīng)常需要知道是否存在Jac

2、obian群階為n的曲線，以便進(jìn)一步構(gòu)造這樣的曲線。由于Jacobian的群階即為該曲線Zeta函數(shù)的分子L多項(xiàng)式在1時的取值，有必要通過計(jì)算曲線的Zeta函數(shù)來研究這一問題。在本文第二章，我們利用曲線的覆蓋和分歧理論，得出了虧格為3的曲線的Jacobian與三條橢圓曲線的積同種的限定條件。根據(jù)這一條件，我們可以更快速地計(jì)算出部分曲線的Zeta函數(shù)，進(jìn)而求得曲線的有理點(diǎn)個數(shù)和Jacobian的群階，從而部分回答前述問題。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，我

3、們還首先發(fā)現(xiàn)在F49上存在極大曲線。 在RSA密碼體制中，首先需要找到一個大的素?cái)?shù)，通常的辦法是隨機(jī)選取一個大數(shù)n來測試其素性，因此高效的素性測試算法非常重要。橢圓曲線與素性測試有著密切的關(guān)系，比如ECPP算法和Goldwasser-Kilian算法都是利用了橢圓曲線的算術(shù)性質(zhì)。超奇異橢圓曲線是一類特殊的橢圓曲線，它的一個算術(shù)性質(zhì)可以用來刻畫素?cái)?shù)。本文第三章基于Goldwasser-Kilian算法在環(huán)Zn上研究(普通)橢圓曲線