多參數(shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非Lipschitz隨機(jī)微分方程.pdf

1、本文主要研究了兩個(gè)方面的問題:一是Bihari不等式(參看[7])在多參數(shù)情形的推廣;二是關(guān)于由多參數(shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非Lipschitz隨機(jī)微分方程解的存在唯一性,同時(shí)我們研究了兩種離散化模型,得到了它們的L2收斂速度. 首先,我們介紹了關(guān)于平面上隨機(jī)積分的一些結(jié)果,這是后續(xù)部分主要結(jié)果的預(yù)備知識(shí).接下來(lái),我們考慮如下由W2驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程: dXz=ó(Xz)dWz+b(Xz)dz, (1)當(dāng)z∈@Rd+時(shí),X

2、z=x ∈ Rn,,其中W是m維d參數(shù)Brown運(yùn)動(dòng).ó(x):Rn→RnxRm和b(x):Rn→Rn是連續(xù)函數(shù). 在本文中我們要證明方程(1)在某種非Lipschitz條件下解的存在唯一性,對(duì)單參數(shù)或兩參數(shù)的非Lipschitz條件下的隨機(jī)微分方程都基于Itǒ公式.當(dāng)d≥3時(shí), Itǒ公式的形式相當(dāng)復(fù)雜,為了避免使用Itǒ公式,我們先將Bihari不等式推廣到多參數(shù)情形. 有了這個(gè)推廣,方程(1)的解的存在唯一性很容易

3、由逐次逼近得到.我們將證明:定理1令t:R+→R+是連續(xù)非降凹函數(shù),滿足t(0)=0,且∫01/р(x)dx=+∞. 假設(shè):∣ó(x)- ó(y)∣2+∣b(x)-b(y)∣2≤p(∣x-y∣2). 則方程(1)存在唯一連續(xù)F2適應(yīng)解,記為{Xzz=T}.其中F2:=ó{Wz,z=z}. 另一方面,為了作數(shù)值計(jì)算,我們通常對(duì)方程(1)離散化.這里我們討論兩種離散模型,一種類似于單參數(shù)情形的歐拉模型,另一種我們離散